Polares Trägheitsmoment < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Do 22.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Berechne das polare Trägheitsmoment bezüglich der normal auf die Fläche durch den Ursprung gehende Achse:
A(0,0), B(1,1),C(-1,1)
[mm] \rho(x,y)=x^2-\wurzel{1-x^2} [/mm] |
Also die Fläche ist offensichtlich ein gleichschenkeliges Dreieck;
[mm] I_{p}=I_{x}+I_{y}=\integral_{x=0}^{1}\integral_{y=-x}^{y=x}{(x^2+y^2) dy dx}
[/mm]
wie bringe ich die Dichtefunktion ins Spiel? "einfach hineinmultiplizieren"?
[mm] I_{p}=\integral_{x=0}^{1}\integral_{y=-x}^{y=x}{x^2 \wurzel{1-x^2}(x^2+y^2) dy dx}
[/mm]
dann zuerst nach y integrieren (innere Fkt) und dann die äußere Integration?
lg
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Hallo chrisi99,
> Berechne das polare Trägheitsmoment bezüglich der normal
> auf die Fläche durch den Ursprung gehende Achse:
>
> A(0,0), B(1,1),C(-1,1)
> [mm]\rho(x,y)=x^2-\wurzel{1-x^2}[/mm]
> Also die Fläche ist offensichtlich ein gleichschenkeliges
> Dreieck;
>
> [mm]I_{p}=I_{x}+I_{y}=\integral_{x=0}^{1}\integral_{y=-x}^{y=x}{(x^2+y^2) dy dx}[/mm]
>
> wie bringe ich die Dichtefunktion ins Spiel? "einfach
> hineinmultiplizieren"?
Ja.
>
> [mm]I_{p}=\integral_{x=0}^{1}\integral_{y=-x}^{y=x}{x^2 \wurzel{1-x^2}(x^2+y^2) dy dx}[/mm]
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> dann zuerst nach y integrieren (innere Fkt) und dann die
> äußere Integration?
>
> lg
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 24.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ich bin mir ziemlich sicher, dass es nicht so geht, hab aber noch nie Mehrfachintegrale gelöst:
[mm] I_{p}=\integral_{x=0}^{1}\integral_{y=-x}^{y=x}{x^2 \wurzel{1-x^2}(x^2+y^2)) dxdy}\to
[/mm]
[mm] \integral_{x=0}^{1}{x^4 \wurzel{1-x^2} dx}\integral_{y=-x}^{y=x}{x^2 \wurzel{1-x^2} y^2 dy}
[/mm]
jetzt den letzten Term integriert: [mm] y^2->y^3/3 [/mm]
Grenzen eingesetzt:
[mm] \integral_{x=0}^{1}{x^4 \wurzel{1-x^2} \bruch{2}{3} x^5 \wurzel{1-x^2}) dx}
[/mm]
das gäbe dann glaube ich [mm] \integral_{0}^{1}{2/3 x^9 (1-x^2) dx}=1/90
[/mm]
stimmt das oder habe ich es ganz falsch ? 
lg
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Hallo chrisi99,
> ich bin mir ziemlich sicher, dass es nicht so geht, hab
> aber noch nie Mehrfachintegrale gelöst:
>
>
> [mm]I_{p}=\integral_{x=0}^{1}\integral_{y=-x}^{y=x}{x^2 \wurzel{1-x^2}(x^2+y^2)) dxdy}\to[/mm]
>
> [mm]\integral_{x=0}^{1}{x^4 \wurzel{1-x^2} dx}\integral_{y=-x}^{y=x}{x^2 \wurzel{1-x^2} y^2 dy}[/mm]
>
> jetzt den letzten Term integriert: [mm]y^2->y^3/3[/mm]
>
> Grenzen eingesetzt:
>
> [mm]\integral_{x=0}^{1}{x^4 \wurzel{1-x^2} \bruch{2}{3} x^5 \wurzel{1-x^2}) dx}[/mm]
>
> das gäbe dann glaube ich [mm]\integral_{0}^{1}{2/3 x^9 (1-x^2) dx}=1/90[/mm]
>
> stimmt das oder habe ich es ganz falsch ?
Es ist zuerst nach y zu integrieren und dann die Grenzen einsetzen.
Das ergibt dann eine Funktion von x, die nur von x abhängig ist.
[mm]\integral_{y=-x}^{y=+x}{x^2 \wurzel{1-x^2}(x^2+y^2) \ dy}=:g\left(x\right)[/mm]
Diese dann auch integrieren und Grenzen einsetzen.
Dann kannst Du nach x integrieren:
[mm]\integral_{0}^{1}{g\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 24.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Verzeihung, das war ja geradezu lächerlich falsch, manchmal hab ich gar keinen Blick...
also schaut das ganze dann so aus:
[mm] \integral_{-x}^{x}{x^2 \wurzel{1-x^2}(x^2+y^2) dy}=[x^2\wurzel{1-x^2}x^2*y+x^2\wurzel{1-x^2}\bruch{y^3}{3}]=x^2\wurzel{1-x^2} [(x^3+x^3/3)-(-x^3-x^3/3)]=x^2\wurzel{1-x^2}*\bruch{8x^3}{3}
[/mm]
das dann nach x integriert...
Stimmt das so weit? Dann danke ich herzlich für die Hilfe! :)
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Hallo chrisi99,
> Verzeihung, das war ja geradezu lächerlich falsch, manchmal
> hab ich gar keinen Blick...
>
>
> also schaut das ganze dann so aus:
>
> [mm]\integral_{-x}^{x}{x^2 \wurzel{1-x^2}(x^2+y^2) dy}=[x^2\wurzel{1-x^2}x^2*y+x^2\wurzel{1-x^2}\bruch{y^3}{3}]=x^2\wurzel{1-x^2} [(x^3+x^3/3)-(-x^3-x^3/3)]=x^2\wurzel{1-x^2}*\bruch{8x^3}{3}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> das dann nach x integriert...
>
> Stimmt das so weit? Dann danke ich herzlich für die Hilfe!
> :)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
jetzt bin ich mir gar nicht sicher, ob ich nicht ganz zu Beginn einen Fehler gemacht habe...
in der Frage steht "polares Trägheitsmoment", aber ist das nicht http://de.wikipedia.org/wiki/Trägheitsmoment ..
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Hallo chrisi99,
> jetzt bin ich mir gar nicht sicher, ob ich nicht ganz zu
> Beginn einen Fehler gemacht habe...
>
>
> in der Frage steht "polares Trägheitsmoment", aber ist das
> nicht http://de.wikipedia.org/wiki/Trägheitsmoment ..
>
>
Das findet sich doch auf der angegebenen Seite: ![[]](/images/popup.gif) polares Trägheitsmoment
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke, du hast meinen Abend gerettet ;)
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