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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Polarkoordinaten
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Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Sa 12.03.2011
Autor: Lentio

Hallo,

begreife dese Aufgabe irgendwie nicht so recht.

Ich habe mich zwar daran versucht, aber meine Ansätze lassen wahrscheinlich jeden aus dem Fenster springen
okay, hier was ich bisher gemacht habe:
Da die Funktion in den R abbildet:

[mm] 0=-x-(4-x^2)/2 [/mm]

[mm] x=rcos\alpha [/mm] eingesetzt und umgeformt:
   [mm] r^2+ \bruch{2cos\alpha}{cos^2\alpha}r-\bruch{4}{cos^2\alpha} [/mm] für [mm] \alpha \not=\bruch{k}{2}\pi,k \in [/mm] N, k ungerade

[mm] r=\bruch{-2 \pm \wurzel{17}}{2cos\alpha}. [/mm]

somit [mm] x=\bruch{-2 \pm \wurzel{17}}{2cos\alpha}cos\alpha. [/mm]
Ist natürlich alles *****.

Über Hilfe wäre ich dankbar.


mfg,


Lentio.

        
Bezug
Polarkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Sa 12.03.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,

um welche Funktion handelt es sich?

Poste bitte die Aufgabenstellung im Originalwortlaut!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Polarkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 Sa 12.03.2011
Autor: Lentio

Ups, total verschwitzt!

Hier die Aufgabenstellung:


Sei [mm] G=\{(x,y)\in\IR^2|x^2+y^2=4\} [/mm]   und [mm] f:G\to\IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=x-y^2/2 [/mm]


Geben sie für die Funktion eine Darstellung in eben Polarkoordinaten, in der die Radialvariabel r nicht vorkommt.

Bezug
        
Bezug
Polarkoordinaten: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Sa 12.03.2011
Autor: Loddar

Hallo Lentio!


Aus der Darstellung von $G_$ und durch Einsetzen der Polarkoordinaten mit $x \ = \ [mm] r*\cos(\alpha)$ [/mm] bzw. $y \ = \ [mm] r*\sin(\alpha)$ [/mm] folgt doch unmittelbar, dass [mm] $r^2 [/mm] \ = \ 4$  [mm] $\Rightarrow$ [/mm]  $r \ = \ 2$ .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Sa 12.03.2011
Autor: Lentio

Danke für die schnelle Antwort.

Also ist das Ergebnis einfach nur x=2 (da Wertebereich in R) ?

mfg


lentio

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Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Sa 12.03.2011
Autor: kamaleonti

Hi Lentio,
> Danke für die schnelle Antwort.
>  
> Also ist das Ergebnis einfach nur x=2 (da Wertebereich in R) ?

Nein.
Wir haben:
[mm] \qquad [/mm] $ [mm] G=\{(x,y)\in\IR^2|x^2+y^2=4\} [/mm] $ sowie $ [mm] f:G\to\IR [/mm] $ mit $ [mm] f(x,y)=x-y^2/2 [/mm] $
Nun ist [mm] x=2\cos\alpha, y=2\sin\alpha [/mm] (wegen r=2 in der Polarkoordinatendarstellung)

Wie sieht nun die Funktion unter dieser Darstellung aus?

>  
> mfg
>  
>
> lentio

LG

Bezug
                                
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Sa 12.03.2011
Autor: Lentio

Meinst du das:

[mm] f(2cos\alpha, [/mm] 2sin [mm] \alpha)= 2(cos\alpha-sin^2\alpha)? [/mm]


mfg

Bezug
                                        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Sa 12.03.2011
Autor: kamaleonti

Hi,
> Meinst du das:
>  
> [mm]f(2cos\alpha,[/mm] 2sin [mm]\alpha)= 2(cos\alpha-sin^2\alpha)?[/mm]

Ich vermute es ist etwas anderes gemeint, denn die Punkte in G hängen nur noch vom Parameter [mm] \alpha [/mm] ab:
[mm] \qquad $G=\{(2\cos\alpha, 2\sin\alpha)|\alpha\in[0,2\pi]\}$ [/mm]
Damit ließe sich auch eine Funktion mit nur einen Parameter konstruieren, etwa folgendes g:
[mm] \qquad [/mm] $g:[0, [mm] 2\pi]\to\IR, g(\alpha)=2(\cos\alpha-\sin^2\alpha)$ [/mm]

Der Hinweis der Aufgabenstellung "Geben sie für die Funktion eine Darstellung in eben Polarkoordinaten, in der die Radialvariabel r nicht vorkommt. " deutet auf diese Variante hin, denn hier bekommt g als Argument lediglich den Polarkoordinatenwinkel

>  
>
> mfg

Gruß

Bezug
                                                
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Sa 12.03.2011
Autor: Lentio

Vielen Dank!!

ICh hätte leider noch eine weitere Frage. Wie kann man denn jetzt direkt aus der  Funktion f die  partielle Ableitung [mm] \bruch{\partial g }{\partial \alpha} [/mm] berechnen?

mfg

Bezug
                                                        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Sa 12.03.2011
Autor: MathePower

Hallo Lentio,

> Vielen Dank!!
>  
> ICh hätte leider noch eine weitere Frage. Wie kann man
> denn jetzt direkt aus der  Funktion f die  partielle
> Ableitung [mm]\bruch{\partial g }{\partial \alpha}[/mm] berechnen?


Differenziere

[mm]g\left(\alpha\right):=f\left( x\left(\alpha\right), \ y\left(\alpha\right) \ \right)[/mm]

mit Hilfe der Kettenregel,


>
> mfg


Gruss
MathePower

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