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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mi 05.08.2009 | | Autor: | Stern123 |
Wir haben in der Vorlesung folgendes behandelt:
[mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] i*sin(\alpha) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{
\alpha^{2n}}{(2n)!} [/mm] + [mm] i*\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n}}{(2n)!} [/mm] + [mm] i*\summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{
(i*\alpha)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] e^{i*\alpha}
[/mm]
Ich verstehe nun folgenden Schritt nicht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n}}{(2n)!} [/mm] + [mm] i*\summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{
(i*\alpha)^{n}}{n!} [/mm]
Weiß jemand, was hier gemacht wurde?
Das letzte ist ja nichts anderes als die Exponentialreihe:
[mm] e^{i*apha} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(i*
\alpha)^{n}}{n!}
[/mm]
Aber wie komme ich darauf?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Stern123,
> Wir haben in der Vorlesung folgendes behandelt:
>
> [mm]cos(\alpha)[/mm] + [mm]i*sin(\alpha)[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{
\alpha^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> + [mm]i*\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> + [mm]i*\summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{
(i*\alpha)^{n}}{n!}[/mm] =
> [mm]e^{i*\alpha}[/mm]
>
> Ich verstehe nun folgenden Schritt nicht:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> + [mm]i*\summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{
(i*\alpha)^{n}}{n!}[/mm]
>
>
> Weiß jemand, was hier gemacht wurde?
Das "i" vor der zweiten Summe wurde in die selbige hinein multipliziert.
[mm]i*\summe_{n=0}^{\infty} i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty} i*i^{2n}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty} i^{2n+1}*\bruch{
\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\left(i*
\alpha\right)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
Dann sind diese 2 Summen zu einer zusammengefaßt worden.
> Das letzte ist ja nichts anderes als die
> Exponentialreihe:
> [mm]e^{i*apha}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(i*
\alpha)^{n}}{n!}[/mm]
>
> Aber wie komme ich darauf?
Nun, die Exponentialreihe ist ja hinlänglich bekannt:
[mm]e^{x}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
Und für x kannst Du jedes beliebige Argument einsetzen,
hier in diesem Fall [mm]x=i*\alpha[/mm].
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Do 06.08.2009 | | Autor: | Stern123 |
Danke für die schnelle Antwort.
Aber was ich noch nicht verstehe ist, wie man das nun zu einer Summe zusammenfasst.
Ich erhalte doch:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{ (i\cdot{}\alpha)^{2n}}{(2n)!} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{ (i\cdot{}\alpha)^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Ist das dann gleich [mm] e^{i*\alpha} [/mm] + [mm] e^{i*\alpha} [/mm] ?
Aber dann würde ja [mm] 2*e^{i*\alpha} [/mm] rauskommen, was ja nicht der Fall ist.
Ist es nur die Exponentialreihe, wenn ich nur n (und nicht 2n) als Potenz bzw. Fakultät habe?
Wo ist mein Denkfehler bzw. wie kann ich die beiden Summen so umformen, dass ich nur noch $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{ (i\cdot{}\alpha)^{n}}{n!} [/mm] $ habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Do 06.08.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}a_{2n}+\summe_{n=0}^{\infty}a_{2n+1} [/mm] =$
[mm] $a_0+a_2+a_4+a_6+ [/mm] .....$
[mm] $+a_1+a_3+a_5+ [/mm] ....$
=$ [mm] a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+ [/mm] .... = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] $
Hilft das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Do 06.08.2009 | | Autor: | Stern123 |
Aaah. Okay. Jetzt ist es logisch. Im ersten Summanden hab ich ja nur die gerade und im zweiten die ungeraden "Teile".
Danke! 
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