Polstelle / Definitionslücke < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Max. Definitionsmenge.
Gib die Art der Definitionslücken an ( Polstelle / Hebbare Definitionslücke )
f : [mm] \bruch{x}{1+ 5x}
[/mm]
g : [mm] \bruch{x+2}{x^2+x-2} [/mm] |
Hallo,
ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.
Meine Überlegungen zu f :
F würde bei 0,2 Null im Nenner werden, daher ist die Definitionsmenge D= [mm] \IR [/mm] ohne 0,2.
Da ein einsetzen von x = o,2 eine Null im Nenner aber nicht im Zähler ergiebt müsste eine Polstelle und keine hebbare Definitionslücke ergeben.
Daraus ergibt sich dann auch die Polstelle bei 0,2.
Und da der Nenner 1+5X = [mm] (1+5x)^1 [/mm] müsste dort ein Vorzeichenwechsel stattfinden.
liege ich soweit mit f richtig. Irgenwie habe ich den Verdacht ich mache da etwas falsch.
Danke im voraus für eure Hilfe
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Hallo Windbeutel,
> Bestimme die Max. Definitionsmenge.
> Gib die Art der Definitionslücken an ( Polstelle /
> Hebbare Definitionslücke )
>
> f : [mm]\bruch{x}{1+ 5x}[/mm]
>
> g : [mm]\bruch{x+2}{x^2+x-2}[/mm]
> Hallo,
> ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.
>
> Meine Überlegungen zu f :
>
> F würde bei 0,2 Null im Nenner werden, daher ist die
> Definitionsmenge D= [mm]\IR[/mm] ohne 0,2.
>
>
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> Da ein einsetzen von x = o,2 eine Null im Nenner aber nicht
> im Zähler ergiebt müsste eine Polstelle und keine hebbare
> Definitionslücke ergeben.
>
> Daraus ergibt sich dann auch die Polstelle bei 0,2.
>
> Und da der Nenner 1+5X = [mm](1+5x)^1[/mm] müsste dort ein
> Vorzeichenwechsel stattfinden.
>
> liege ich soweit mit f richtig. Irgenwie habe ich den
> Verdacht ich mache da etwas falsch.
Bis hierhin ist alles richtig.
Ich fände nur besser, wenn Du x=tfrac{1}{5} angibst. Mit Dezimalbrüchen verliert man viel schneller den Überblick. Hier macht das gerade keinen Unterschied, aber sonst oft.
> Danke im voraus für eure Hilfe
Weitermachen. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Mo 19.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Windbeutel,
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> > Bestimme die Max. Definitionsmenge.
> > Gib die Art der Definitionslücken an ( Polstelle /
> > Hebbare Definitionslücke )
> >
> > f : [mm]\bruch{x}{1+ 5x}[/mm]
> >
> > g : [mm]\bruch{x+2}{x^2+x-2}[/mm]
> > Hallo,
> > ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.
> >
> > Meine Überlegungen zu f :
> >
> > F würde bei 0,2 Null im Nenner werden, daher ist die
> > Definitionsmenge D= [mm]\IR[/mm] ohne 0,2.
> >
> >
> >
> > Da ein einsetzen von x = o,2 eine Null im Nenner aber
> nicht
> > im Zähler ergiebt müsste eine Polstelle und keine
> hebbare
> > Definitionslücke ergeben.
> >
> > Daraus ergibt sich dann auch die Polstelle bei 0,2.
> >
> > Und da der Nenner 1+5X = [mm](1+5x)^1[/mm] müsste dort ein
> > Vorzeichenwechsel stattfinden.
> >
> > liege ich soweit mit f richtig. Irgenwie habe ich den
> > Verdacht ich mache da etwas falsch.
>
> Bis hierhin ist alles richtig.
Hallo Reverend,
nicht alles ist richtig !
> Ich fände nur besser, wenn Du x=tfrac{1}{5} angibst.
Noch besser fände ich , wenn er $x= [mm] -\bruch{1}{5}$ [/mm] schreiben würde.
Gruß FRED
> Mit
> Dezimalbrüchen verliert man viel schneller den Überblick.
> Hier macht das gerade keinen Unterschied, aber sonst oft.
>
> > Danke im voraus für eure Hilfe
>
> Weitermachen.
>
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Mo 19.08.2013 | | Autor: | reverend |
Ups.
Hallo Fred,
danke.
lg, rev
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mo 19.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Max. Definitionsmenge.
> Gib die Art der Definitionslücken an ( Polstelle /
> Hebbare Definitionslücke )
>
> f : [mm]\bruch{x}{1+ 5x}[/mm]
>
> g : [mm]\bruch{x+2}{x^2+x-2}[/mm]
> Hallo,
> ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.
>
> Meine Überlegungen zu f :
>
> F würde bei 0,2 Null im Nenner werden,
Wenn Du mit F die fkt. f meinst, so hat diese bei $ [mm] -0,2=-\bruch{1}{5}$
[/mm]
einen Pol.
FRED
> daher ist die
> Definitionsmenge D= [mm]\IR[/mm] ohne 0,2.
>
>
>
> Da ein einsetzen von x = o,2 eine Null im Nenner aber nicht
> im Zähler ergiebt müsste eine Polstelle und keine hebbare
> Definitionslücke ergeben.
>
> Daraus ergibt sich dann auch die Polstelle bei 0,2.
>
> Und da der Nenner 1+5X = [mm](1+5x)^1[/mm] müsste dort ein
> Vorzeichenwechsel stattfinden.
>
> liege ich soweit mit f richtig. Irgenwie habe ich den
> Verdacht ich mache da etwas falsch.
>
> Danke im voraus für eure Hilfe
>
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Hallo!
Bauchschmerzen bereitet mir das hier:
> Da ein einsetzen von x = o,2 eine Null im Nenner aber nicht
> im Zähler ergiebt müsste eine Polstelle und keine hebbare
> Definitionslücke ergeben.
Denn das ist im Allgemeinen nicht richtig. Eine Polstelle entsteht, wenn der Grad der Nullstelle des Nenners größer ist als der Grad der Nullstelle im Zähler, oder wenn der Nenner eine Nullstelle hat, und der Zäher an der Stelle nicht.
Beispiel:
[mm] \frac{1}{x} [/mm] ist der klassische Fall einer Polstelle, und weil unten, ich übernehm das mal [mm] x^\red{1} [/mm] steht, ist das eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
[mm] \frac{x^2}{x} [/mm] hat bei x=0 eine Definitionslücke. Man kann das kürzen zu [mm] \frac{x^2}{x}=x [/mm] , also eine Funktion ohne Pol. Allerdings darf man in die Anfangsdefinition nicht x=0 einsetzen. Das ergibt insgesamt eine hebbare Lücke. Die Nullstelle des Zählers (2) ist größer als die des Nenners (1).
[mm] \frac{x}{x^2} [/mm] läßt sich kürzen zu [mm] \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x} [/mm] . Dieser gekürzte Ausdruck hat nun eindeutig eine Polstelle. Man erkennt das daran, daß der Grad der Nullstelle des Nenners (2) nun größer als der des Zählers (1) ist. Man kann sogar noch was sahen: Die Differenz der Grade ist 1, also ungrade, demnach ist das auch mit Vorzeichenwechsel. [mm] \frac{x^5}{x^7} [/mm] hat dagegen eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Für die hier genannte Aufgabe macht das keinen Unterschied, die Lösung ist richtig. Aber bei anderen Aufgaben kann das zu Problemen führen.
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Zu g: Versuche, den Nenner sinnvoll zu faktorisieren. Also [mm] x^2+x-2=(...)*(...)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mo 19.08.2013 | | Autor: | Windbeutel |
Vielen Dank euch allen.
Liebe Grüße
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