Polstellen gebr.rat.Fkt. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Sa 28.10.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | | Grenzwert plus oder minus unendlich ? |
Hallo zusammen ,
gegeben ist folgende Funktion :
f(x) = [mm] \bruch{x^{2}-4}{x^{2}-1}
[/mm]
ich habe die Nullstellen berechnet und folgendes heraus bekommen :
Nst. des Zählers : x1 =-2 v. x2=2
Nst. des Nenners : x1= -1 v. x2= 1
Nst. des Nenners sind nicht Nst. des Zählers , daher liegt jeweils ein Pol bei [mm] x_{1;2} [/mm] : [mm] \pm [/mm] 1 vor .
jetzt kommt meine Frage um Auszurechnen ,ob der Graph gegen + [mm] \infty [/mm] oder - [mm] \infty [/mm] setzt man ja den Grenzwert und
lässt h [mm] \to [/mm] 0 laufen .
wie erkenne ich jetzt aber ob es + [mm] \infty [/mm] oder - [mm] \infty [/mm] ist ? durch einsetzen und probieren ?
hier der Grenzwert :
[mm] \limes_{h\rightarrow\circ} [/mm] f(1+h) = [mm] \bruch{(1+h)^{2}-4}{(1+h)^{2}-1} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\circ} \bruch{2h+h^{2}-3}{2h+h^{2}} [/mm] = ??
[mm] _{h\rightarrow\circ} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\circ} [/mm] f(-1+h) = [mm] \bruch{(-1+h)^{2}-4}{(-1+h)^{2}-1} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\circ} \bruch{-2h+h^{2}-3}{-2h+h^{2}} [/mm] = ??
[mm] _{h\rightarrow\circ} [/mm]
freue mich über eine Antwort
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Nachdem du ja jetzt die Nullstellen berechnet hast, solltest du Zähler und Nenner als Linearfaktorzerlegung schreibenm also so:
[mm] $f(x)=\bruch{(x+2)(x-2)}{(x+1)(x-1)}$
[/mm]
Jetzt guckst du dir an, was an einer Polstelle mit den Vorzeichen der einzelnen Faktoren passiert, beispielsweise bei x=+1:
[mm] $f(x)=\bruch{\overbrace{(x+2)}^{+}\overbrace{(x-2)}^{-}}{\underbrace{(x+1)}_{+}\underbrace{(x-1)}_{-\to +}}$
[/mm]
Du siehst, es gibt da einen Übergang von - nach +. Insgesamt geht die funktion links von der Polstelle nach +oo, und rechts nach -oo.
Das gleiche machst du mit der anderen Polstelle.
Einsetzen und Probieren ist keine gute Möglichkeit, da du nie weißt, ob die Funktion zwischen Pol und dem von dir benutzten Testwert nicht noch was entscheidenes macht, wodurch das Ergebnis sich ändert.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
