Polstellen und Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie alle Polstellen deren Ordnung und Residuen der Funktion:
[mm] \bruch{z}{sin(\pi z)*(z-1)} [/mm] |
Bei diesem Beispiel komme ich einfach nicht auf das Residuum. Ich habe die Polstelle mit z=1 bestimmt und sie hat die Ordnung 2. Soweit so gut, aber wenn ich das Residuum bestimmen will, komm ich auf 0 und nach Anwendung von de L'hospital auf - [mm] \bruch{-2 \pi +2i}{1} [/mm]
ich weiss aber dass - [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] rauskommen müsste.
Was mach ich falsch? Geht man bei Polstellen 2.Ordnung irgendwie anders vor?
Für Hilfe wäre ich serh dankbar!
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Hallo Wieselwiesel,
> Bestimmen sie alle Polstellen deren Ordnung und Residuen
> der Funktion:
>
> [mm]\bruch{z}{sin(\pi z)*(z-1)}[/mm]
> Bei diesem Beispiel komme ich
> einfach nicht auf das Residuum. Ich habe die Polstelle mit
> z=1 bestimmt und sie hat die Ordnung 2. Soweit so gut, aber
Das ist eine Polstelle, es gibt aber noch weitere.
> wenn ich das Residuum bestimmen will, komm ich auf 0 und
Poste Deine Rechenschritte, wie Du auf den Grenzwert 0 kommst.
> nach Anwendung von de L'hospital auf - [mm]\bruch{-2 \pi +2i}{1}[/mm]
Auch hier, poste Deine Rechenschritte.
> ich weiss aber dass - [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] rauskommen müsste.
>
> Was mach ich falsch? Geht man bei Polstellen 2.Ordnung
> irgendwie anders vor?
>
> Für Hilfe wäre ich serh dankbar!
Gruss
MathePower
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Ahja, es gibt auch noch die Möglichkeit dass z=k k [mm] \in \IZ_0 [/mm] ist, oder?
Aber wie "verwende" ich diese Polstelle dann im Residuum?
Ich hab das Residuum so ausgerechnet mit z=1:
[mm] Res(f(z),z)=\bruch{A}{B'} |_{z=1} [/mm] = [mm] \bruch{2zi*e^{i \pi z}}{(2 \pi zi+1)*e^{2 \pi zi} - 1 - 2 \pi i*e^{2 \pi zi}}
[/mm]
Das ist dann [mm] \bruch{2i}{0} [/mm] also 0
Dann nach de L'hospital komm ich eben auf mein falsches Ergebnis...
Was mach ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Du hast schon richtig bemerkt, in allen [mm] $k\in\IZ$ [/mm] liegt eine Singularität vor.
Das sollte im Übrigen noch begründet werden - es ist nicht ganz klar, dass der Sinus nur an den bekannten reellen Stellen verschwindet.
Im Punkt 0 verschwindet sowohl Nenner als auch Zähler. Mit l'Hopital findet man heraus, dass diese Singularität hebbar ist.
Im Punkt 1 liegt - wie du richtig erkannt hast - ein Pol 2. Ordnung vor. Zur Berechnung des Residuums eignet sich die Formel
[mm] $Res_a(f)=\frac{1}{(m-1)!}lim_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a)f(z)]$
[/mm]
hier also
[mm] $Res_1(f)=lim_{z\rightarrow 1}\frac{(z-1)z}{sin(\pi z)}$.
[/mm]
Wendest du einmal l'Hopital an, so ergibt sich
[mm] $lim_{z\rightarrow 1}\frac{(2z-1)sin(\pi z)-\pi(z^2-z)cos(\pi z)}{(sin(\pi z))^2}$
[/mm]
Das ist noch nicht alles - sowohl Zähler als auch Nenner gehen wieder gegen 0.
Aber nochmal l'Hopital führt dich zum Ziel.
Im Punkt [mm] $k\in\IZ\setminus [/mm] {0,1}$ liefert einmaliger l'Hopital die Lösung.
Ich nehme mal an, dein Fehler lag darin, dass du Sinus und Cosinus durch die Exponentialfunktion ausgedrückt hast und bei l'Hopital dann die Übersicht verloren hast.
Gruß, Harris
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