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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 23.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe.
Sie lautet:
Welche der folgenden Mengen sind Polyeder? Warum (nicht)?
a) [mm] {\cal M}{_{1}}=[y_{1}a_{1}+y_{2}a_{2}: -1\le{y_{1}}\le1, -1\le{y_{2}}\le1] [/mm] mit [mm] a_{1},a_{2}\in\IR^{n}
[/mm]
b) [mm] {\cal M}{_{2}}=[x\in{\IR^{n}}:x\ge0, {[b]1[/b]}^{T}x=1, \summe_{i=1}^{n}x_{i}a_{i}=b_{1}, \summe_{i=1}^{n}x_{i}{a_{i}}^{2}=b_{2}] [/mm] mit [mm] a_{1},...,a_{n}\in\IR [/mm] und [mm] b_{1},b_{2}\in\IR. [/mm] 1 sei der Vektor in [mm] \IR^{n}, [/mm] dessen Komponenten alle gleich 1 sind.
c) [mm] {\cal M}{_{3}}=[ x\in\IR^{n}:x\ge0, x^{T}y\le1 [/mm] für alle y mit [mm] ||y||_{2}]
[/mm]
Soweit so gut!
Da ich die Vorlesung leider nicht besuchen kann und mich selbst durch skript schlagen muß, bin ich bezüglich des Stoffes ziemlich unsicher und weiß nicht genau wie ich das machen soll!
im skript steht:
Eine Menge [mm] {\cal P}\subseteq{\IR^{n}} [/mm] heißt Polyeder, wenn sie der Durchschnitt endlich vieler abgeschlossener Halbräume ist.
Ich hab mir nun folgendes überlegt:
zu a)
die Beschränkungen für die [mm] y_{i} [/mm] erzeugen ja ein Quadrat mit Seitenlänge 2 und Mittelpunkt im Ursprung. Da die [mm] a_{i} [/mm] aber [mm] \in\IR^{n} [/mm] sind, kann es sein, dass der Punkt auf der Strecke [mm] y_{1}a_{1}+y_{2}a_{2} [/mm] außerhalb dieses Quadrates liegt, z.B. also für [mm] a_{1}=a_{2}=3.
[/mm]
Damit wäre der Schnitt aber eine leere Menge und somit kein Polyeder.
oder?????? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
zu b)
hier fällt mir nicht viel zu ein.
Die beiden Gleichungen [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i}a_{i}=b_{1}, \summe_{i=1}^{n}x_{i}{a_{i}}^{2}=b_{2} [/mm] liefern doch Geraden auf denen sich die jeweiligen Punkte befinden!
Aber wenn da zwei Geraden verschieden sind, dann wäre der Schnitt des ganzen doch wieder leer oder?
zu c)
hier weiß ich nicht recht wie ich mir das vorstellen soll....
Gibt das irgendwie nen Kreis um den Ursprung oder sowas? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich wär echt froh über jede Hilfe!!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:17 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ulrike,
> Welche der folgenden Mengen sind Polyeder? Warum
> (nicht)?
> a) [mm]{\cal M}{_{1}}=[y_{1}a_{1}+y_{2}a_{2}: -1\le{y_{1}}\le1, -1\le{y_{2}}\le1][/mm]
> mit [mm]a_{1},a_{2}\in\IR^{n}
[/mm]
> b) [mm]{\cal M}{_{2}}=[x\in{\IR^{n}}:x\ge0, {[b]1[/b]}^{T}x=1, \summe_{i=1}^{n}x_{i}a_{i}=b_{1}, \summe_{i=1}^{n}x_{i}{a_{i}}^{2}=b_{2}][/mm]
> mit [mm]a_{1},...,a_{n}\in\IR[/mm] und [mm]b_{1},b_{2}\in\IR.[/mm] 1 sei der
> Vektor in [mm]\IR^{n},[/mm] dessen Komponenten alle gleich 1 sind.
> c) [mm]{\cal M}{_{3}}=[ x\in\IR^{n}:x\ge0, x^{T}y\le1[/mm] für alle
> y mit [mm]||y||_{2}]
[/mm]
> zu a)
> die Beschränkungen für die [mm]y_{i}[/mm] erzeugen ja ein Quadrat
> mit Seitenlänge 2 und Mittelpunkt im Ursprung.
Ich würde eher sagen, es ist ein (ebenes) Parallelogramm.
Es liegt in der Ebene, die von den beiden Vektoren [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] aufgespannt wird.
> Da die [mm]a_{i}[/mm]
> aber [mm]\in\IR^{n}[/mm] sind, kann es sein, dass der Punkt auf der
> Strecke [mm]y_{1}a_{1}+y_{2}a_{2}[/mm] außerhalb dieses Quadrates
> liegt, z.B. also für [mm]a_{1}=a_{2}=3.
[/mm]
Aber [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] sind doch Vektoren...
> Damit wäre der Schnitt aber eine leere Menge und somit
> kein Polyeder.
> oder??????
Doch, es ist ein Polyeder (würde ich sagen).
Halbräume, die man braucht, um es zu erzeugen, sind folgende:
Die Ebene, in der das Polyeder liegt, ist der Schnitt der beiden Halbräume, die diese Ebene als Begrenzungsfläche haben --jedenfalls im [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Im [mm] $\IR^n$ [/mm] habe ich um diese Zeit Vorstellungsprobleme, ich bin mir gerade nicht sicher, ob man mit Durchschnitten von Halbräumen, die von Hyperebenen begrenzt werden, eine zweidimensionale Ebene bilden kann. Ich denke aber schon, denn mit den Halbräumen des [mm] $\IR^3$ [/mm] (die Hyperebenen sind dort ja die anschaulichen Ebenen) kann man ja auch Ebenen (2-dim), Geraden (1-dim) und Punkte (0-dim) bilden.
Für eine Kante des Parallelograms ist dann klar, dass man einfach einen Halbraum nehmen kann, in dessen Begrenzungshyperebene die Kante liegt und in dessen Halbraum das ganze Parallelogramm.
> zu b)
> hier fällt mir nicht viel zu ein.
> Die beiden Gleichungen [mm]\summe_{i=1}^{n}x_{i}a_{i}=b_{1}, \summe_{i=1}^{n}x_{i}{a_{i}}^{2}=b_{2}[/mm]
> liefern doch Geraden auf denen sich die jeweiligen Punkte
> befinden!
Nein (bzw. nur im [mm] $\IR^2$: [/mm] ja!), diese beiden Gleichungen beschreiben jeweils eine Hyperebene und legen damit fest, dass x in diesen beiden Hyperebenen liegt.
Die erste Bedingung [mm] $\mathbf{x}\ge [/mm] 0$ soll wahrscheinlich heissen, dass jede Komponente von x nichtnegativ sein soll.
Die zweite Bedingung [mm] $\mathbf{1}*x=1$ $\gdw$ $\summe_{i=1}^n x_i=1$ [/mm] beschreibt wieder eine Hyperebene.
Zusammengefasst haben wir hier [mm] $\mathbf{x}\ge [/mm] 0$, von dem ich ausgehe, dass man es als Schnitt von Halbräumen darstellen kann (hihi, das muß du noch zeigen), und drei Hyperebenen, die auch jeweils Schnitt zweier Halbräume sind.
Also müßte es sich hier auch um einen Polyeder handeln
> Aber wenn da zwei Geraden verschieden sind, dann wäre der
> Schnitt des ganzen doch wieder leer oder?
Nach deiner Definition eines Polyeders wäre die leere Menge doch auch ein Polyeder, also kein Problem.
> zu c)
> hier weiß ich nicht recht wie ich mir das vorstellen
> soll....
> Gibt das irgendwie nen Kreis um den Ursprung oder sowas?
>
Bei c) hast du vergessen, den Wert der Norm von y anzugeben, ich vermute mal, dass es [mm] $\|y\|_{2}\red{=1}$ [/mm] heißt.
Die Bedingung [mm] $x^{T}y\le [/mm] 1$ beschreibt wieder einen Halbraum.
Das y, der Normalenvektor der Hyperebene, hat die Länge 1, liegt damit auf eine (n-1)-dimensionalen Sphäre (eine Kugel im [mm] $\IR^3$) [/mm] mit dem Radius 1.
Deswegen müßte doch die 1 der Ungleichung [mm] $x^{T}y\le \blue{1}$ [/mm] den Abstand der begrenzenden Hyperebene vom Ursprung angeben, also 1. Wegen [mm] $\le$ [/mm] liegt der Ursprung in jedem der Halbräume, die Hyperebenen sind gerade die Tangentialebenen der Späre.
Nun soll der Vektor x in all diesen Halbräumen liegen, es erfüllen aber nur genau die Vektoren innerhalb und auf der Sphäre alle Ungleichungen (im [mm] $\IR^3$ [/mm] wären das genau die Punkte, die auf und in der Einheitskugel liegen).
Wegen [mm] $x\ge0$ [/mm] ist es nur ein "Sektor" (oder wie immer das im [mm] $\IR^n$ [/mm] heißt) der Sphäre (im [mm] $\IR^3$ [/mm] bedeutet [mm] $x\ge0$ [/mm] nur ein Achtel der Kugel, da [mm] $x\ge0$ [/mm] ja gerade einen Oktanten beschreibt).
Jetzt ist also die Frage, ob du mit endlich vielen Begrenzungsflächen die Wölbung einer Kugel darstellen kannst -- ich denke nicht  (bei endlich vielen Hyperebenen entstehen immer "Hohlräume" zwischen Kugel und den Begrenzungsflächen).
Viele Grüße,
Marc
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) hab ich erstmal nicht so viel verstanden 
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
