Polyn.kongruenzen vereinfachen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Di 07.02.2017 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | | Gegeben ist $f(x) = [mm] x^{21} [/mm] + [mm] x^{17} [/mm] + 2 * [mm] x^{3} [/mm] + 7$ über [mm] \IZ_5 [/mm] |
Wegen [mm] \IZ_5 [/mm] kann man schreiben
$f(x) = [mm] x^{21} [/mm] + [mm] x^{17} [/mm] + 2 * [mm] x^{3} [/mm] + 2$
Wegen der Eulerschen Phi-Funktion [mm] \phi(5) [/mm] = 4 kann man schreiben:
$f(x) = [mm] x^1 [/mm] + [mm] x^1 [/mm] + 2 * [mm] x^{3} [/mm] + 2$
Kurz gesagt: wie kommt man auf die Vereinfachung mit der eulerschen Phi-Funktion? Ich kann das nicht nachvollziehen.
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Die 4 Elemente (außer 0 [mm] \equiv [/mm] 5) bilden eine Gruppe bezgl. * mit 4 Elementen, und nach dem kleinen Fermatschen Satz ist dann für jedes Element x der Wert [mm] x^4 \equiv [/mm] 1 mod 5.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Di 07.02.2017 | | Autor: | magics |
Danke! Ich habs kapiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Di 07.02.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
in [mm] IZ_5 [/mm] ist für jedes x [mm] x^4=1
[/mm]
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Di 07.02.2017 | | Autor: | magics |
Merci :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Mi 08.02.2017 | | Autor: | donquijote |
> Hallo
> in [mm]IZ_5[/mm] ist für jedes x [mm]x^4=1[/mm]
Hallo,
kleine Warnung: [mm]x^4=1[/mm] gilt nur für [mm]x\ne 0[/mm] bzw. [mm]x\not\equiv 0[/mm] mod 5. Allerdings bekommt man als Folgerung (mit einer Fallunterscheidung)
[mm]x^{4n+1}=x[/mm] mod 5 für alle x und [mm]n\in\mathbb{N}[/mm].
> Gruß leduart
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