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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Do 27.01.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Ist K ein Körper und [mm] $p\in [/mm] K[x]$ ein Polynom, so heißt [mm] $f_p$ [/mm] die $p$ zugeordnete Polynomfunktion auf K, die durch [mm] $f_p(a)= [/mm] p(a)$ definiert ist. Zeige, dass jede Funktion $f: K [mm] \to [/mm] K$ eine Polynomfunktion ist, falls $K$ endlich ist. |
Also, diese Aufgabe bedarf einer gewissen Kreativität. Nach zähem Ringen ist mir schlussendlich ein Polynom gekommen, welches wie folgt lautet:
Sei [mm] $K=\{a_1,\ldots, a_n\}$ [/mm] und dann betrachte ich das Polynom [mm] $p=\sum_{i=1}^{n} f(a_i) (1-(X-a_i)^{n-1}). [/mm] So, ich konnte, so hoffe ich doch, zwar ein richtiges Polynom angeben, welches mir intutiv kam, doch tu ich mir nun schwer zu begründen, dass wirklich JEDE Funktion eine Polynomfunktion ist unter den in der Angabe gestellten Bedingungen.
Kann mir jemand sagen, wie ich das (mit meinem Polynom) machen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Do 27.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ist K ein Körper und [mm]p\in K[x][/mm] ein Polynom, so heißt [mm]f_p[/mm]
> die [mm]p[/mm] zugeordnete Polynomfunktion auf K, die durch [mm]f_p(a)= p(a)[/mm]
> definiert ist. Zeige, dass jede Funktion [mm]f: K \to K[/mm] eine
> Polynomfunktion ist, falls [mm]K[/mm] endlich ist.
> Also, diese Aufgabe bedarf einer gewissen Kreativität.
> Nach zähem Ringen ist mir schlussendlich ein Polynom
> gekommen, welches wie folgt lautet:
>
> Sei [mm]$K=\{a_1,\ldots, a_n\}$[/mm] und dann betrachte ich das
> Polynom [mm]$p=\sum_{i=1}^{n} f(a_i) (1-(X-a_i)^{n-1}).[/mm] So, ich
> konnte, so hoffe ich doch, zwar ein richtiges Polynom
> angeben, welches mir intutiv kam, doch tu ich mir nun
> schwer zu begründen, dass wirklich JEDE Funktion eine
> Polynomfunktion ist unter den in der Angabe gestellten
> Bedingungen.
> Kann mir jemand sagen, wie ich das (mit meinem Polynom)
> machen kann?
Benutze den kleinen Satz von Fermat. Was passiert, wenn du [mm] $a_j$ [/mm] einsetzt fuer ein bestimmtes $j$? Schau dir dafuer erstmal den Ausdruck [mm] $(a_j [/mm] - [mm] a_i)^{n - 1}$ [/mm] an. Was kannst du ueber diesen aussagen?
LG Felix
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Also, ich kann nur argumentieren, dass der rechte Faktor durch eine Primzahl teilbar ist, durch den Satz von Fermat gefolgert und das auch nur, wenn n eine Primzahl ist. Was bringt mir des jedoch weiter, um zu zeigen, dass jede Funktion ... eine Polynomfunktion ist?
Was muss eigentlich eine Polynomfunktion erfüllen, dass sie als solche getauft werden darf, vielleicht hapert es bei mir da?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 29.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
beachte bitte die Forenregeln und gib an, wenn Du dieselbe Frage noch an anderer Stelle postest.
Gruß v. Angela
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