Polynom Division mit Rest < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien p,q [mm] \in [/mm] K[x] Polynome über einem Körper K mit [mm] q\not=0 [/mm] .
Zeigen Sie ,dass es dann eindeutige bestimmte Polynome r,s [mm] \in [/mm] K[x]
so daß deg r< deg q und p=q*s+r |
Man ich weiß was ich hier machen soll ganz...
ich hab so angefangen wegen [mm] qq\not=0 [/mm] und q e K[x] => deg [mm] q\ge0
[/mm]
nun gilt p=q*s+r wegen deg q> deg r
=> deg (p) => deg (p-r)=deg(q*s)=deg q + deg s (* sternchen)
Annahme: es gibt s,r,z,x e K[x] mit p=q*s+r=q*z+x
muss ich bei der aufgabe zeigen : s=z und r=x?
nach *sternchen => deg q +deg s =deg q +deg z
=> deg s=degz dass heißt jetzt aber nicht das s=z !aber auf jeden fall der grad nun hab keine idee mehr wie cih das zeigen ,
ich hoffe ihr könnt mir helfen danke voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Decehakan,
du hast doch schon q*s+r=q*z+x. Jetzt bring die Terme mit gleichem Grad auf die gleiche Seite:
[mm]q*s-q*z = q*(s-z) = x -r[/mm]
Was kannst du aus [mm]\deg q > \deg r[/mm] und [mm]\deg q >\deg x[/mm] folgern?
Viele Grüße
Rainer
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nur weil deg q> deg r und deg x ist heißt es ja nicht x=r?
ich versteh es nicht ,wie man das jetzt eindeutigkeit zeigt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> nur weil deg q> deg r und deg x ist heißt es ja nicht x=r?
Nein aber überleg dir doch mal, was der Grad auf der linken und was der Grad auf der rechten Seite ist:
[mm]\deg(q*(z-s)) \geq \deg q[/mm],falls [mm]z \not=s[/mm] und [mm]\deg(x-r) \leq \deg r <\deg q[/mm].
Wenn beide Seiten gleich sein sollen, kann das nicht sein.
Viele Grüße
Rainer
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wegen deg( q*(s-z))=deg (x-r)
q*(s-z)=x-r => s=z und x=r
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> wegen deg( q*(s-z))=deg (x-r)
>
> q*(s-z)=x-r => s=z und x=r
>
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der Grad auf der linken Seite ist immer größer als der auf der rechten Seite, es sei denn s=z. Also kann die Gleichung nur für s=z gelten, und dann ist natürlich auch x=r.
Viele Grüße
Rainer
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