Polynom/Konvergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Fr 24.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei M der reelle Vektorraum aller Polynome in [mm] Abb(\IR,\IR).
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} P^{(k)}(0) [/mm] für jedes P [mm] \in [/mm] M konvergiert.
(Dabei ist [mm] P^{(k)} [/mm] die k-te Ableitung von P) |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich vermute, ich verstehe die Aufgabe nicht richtig, weil ich keine Konvergenz erkennen kann:
Sei P= [mm] 3x^2+5x-2 [/mm]
Dann sind die Ableitungen:
P'=6x+5
P''=6
P'''=0 und für jede weitere Ableitung ist sie auch 0.
Da es um eine Summe für x=0 geht, fallen die x-Summanden weg und die Summe ist: -2+5+6+0+0+0...=9
Wenn ich andere Polynome nehme, hängt die Summe doch immer von den Koeffizienten ab, konvergiert also nicht.
Da diese Aufgabe unter dem Thema Metrik/Norm/Konvergenz hängt, fehlt bestimmt etwas bei meiner Herangehensweise - aber was ?
Danke, Susanne.
|
|
| |
|
Hallo Susanne,
> Sei M der reelle Vektorraum aller Polynome in
> [mm]Abb(\IR,\IR).[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty} P^{(k)}(0)[/mm] für
> jedes P [mm]\in[/mm] M konvergiert.
> (Dabei ist [mm]P^{(k)}[/mm] die k-te Ableitung von P)
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich vermute, ich verstehe die Aufgabe nicht richtig, weil
> ich keine Konvergenz erkennen kann:
> Sei P= [mm]3x^2+5x-2[/mm]
> Dann sind die Ableitungen:
> P'=6x+5
> P''=6
> P'''=0 und für jede weitere Ableitung ist sie auch 0.
> Da es um eine Summe für x=0 geht, fallen die x-Summanden
> weg und die Summe ist: -2+5+6+0+0+0...=9 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Na, die Reihe ist also wunderbar konvergent, 9 ist ja ein endlicher Wert
>
> Wenn ich andere Polynome nehme, hängt die Summe doch immer
> von den Koeffizienten ab , konvergiert also nicht.
Wieso nicht? In der Aufgabenstellung wird ja nicht verlangt, dass die Reihe für jedes Polynom gegen den gleichen Wert konvergieren muss, sondern nur, dass sie es überhaupt tut
Ich würde in diese Richtung denken:
Für Polynome gibt es stets ein [mm] $k_0$, [/mm] so dass [mm] $p^{(k_0)}\equiv [/mm] 0$ ist.
Die unendliche Summe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty} p^{(k)}(x)$ [/mm] ist also eigentlich eine endliche Summe, denn unendlich viele Summanden (ab einem [mm] $k_0$ [/mm] sind Null)
Und ausgewertet an der Stelle $x=0$ musst du nur das Absolutglied jeder dieser nicht verschwindenden Ableitungen betrachten, und das hat doch einen endlichen Wert.
Also hast du für bel. Polynome eine endliche Summe von endlichen Werten, das gibt also einen endlichen Wert und damit hast du Konvergenz ...
Versuche mal, diese Ideen irgendwie zu nem Beweis zu "verpacken" ...
Vllt. nimmst du dir mal ein allg. Polynom her [mm] $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0$ [/mm] und schaust dir mal konkret die Ableitungen an und welche Werte für $x=0$ angenommen werden.
Dann kannst du sogar etwas zum Wert der Summe sagen ...
> Da diese Aufgabe unter dem Thema Metrik/Norm/Konvergenz
> hängt, fehlt bestimmt etwas bei meiner Herangehensweise -
> aber was ?
>
> Danke, Susanne.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Fr 24.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Schachuzipus,
vielen vielen Dank für deine Hilfe und tolle Erklärung !
Ich habe meine "falsche Denke" jetzt erkannt.
(War da nicht was mit dem Hornerschema ... ? Muss ich nochmal nachschlagen !)
LG, Susanne.
|
|
|
|
