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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Polynom ausklammern
Polynom ausklammern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Polynom ausklammern: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Di 19.07.2005
Autor: toby-ffo

Hallo,

ich schreibe morgen meine Matheprüfung und habe bei der Vorbereitung die Eigenwertberechnung eienr Matrix vergessen. Auf de.Wikipedia.org gibt es dazu []Eigenwert, dessen Zahlenbeispiel ich durchgerechnet habe. Ich komme aber nur bis zu der Zeile:

- [mm] \lambda³+2 \lambda²+4 \lambda-8 [/mm]

Wie komme ich auf die Zeile:

-( [mm] \lambda-2)( \lambda-2)( \lambda+2) [/mm]

Andersrum wäre es ja kein Problem, aber in die Richtung hab ich's nicht mehr drauf...

Danke im vorraus. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gruß, toby
        
Bezug
Polynom ausklammern: Polynomdivision
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Di 19.07.2005
Autor: Loddar

Hallo Toby,

[willkommenmr] !!


Das Stichwort bei dieser Faktorisierung heißt MBPolynomdivision !!


Ich denke mal, es soll heißen:   $- [mm] \lambda^3+2\lambda^2+4 \lambda-8 [/mm] \ [mm] \red{= \ 0}$ [/mm]

Bei höhergradigen Potenzen als 2 sollte man zunächst versuchen, durch gezieltes Erraten / Probieren eine der Nullstellen zu ermitteln.

Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, bieten sich dafür immer die Teiler des Absolutgliedes an, hier: $-8_$ .

Wir probieren also folgende Zahlen mal durch:
[mm] $\pm1$ [/mm]   /   [mm] $\pm2$ [/mm]   /   [mm] $\pm4$ [/mm]   /   [mm] $\pm8$ [/mm] .


Und siehe da - z.B. bei [mm] $\lambda_1 [/mm] \ = \ +2$ finden wir eine Nullstellen.


Nun führen wir eine MBPolynomdivision durch, indem wir unser Polynom durch den Term [mm] $\left(\lambda - \lambda_1\right)$ [/mm] dividieren:

$- [mm] \lambda^3+2\lambda^2+4 \lambda-8 [/mm] \ = \ - [mm] \left(\lambda^3-2\lambda^2-4 \lambda+8\right)$ [/mm]


$- [mm] \left(\lambda^3-2\lambda^2-4 \lambda+8\right) [/mm] : [mm] (\lambda [/mm] - 2) \ = \ - \ [mm] \left[ \ ... \ \right]$ [/mm]


Hier sollte dann ein quadratisches Polynom anstelle des [mm] $\left[ \ ... \ \right]$ [/mm] entstehen, bei dem Du dann z.B. mit der MBp/q-Formel die weiteren Nullstellen berechnen und die entsprechenden Linearfaktoren [mm] $\left(\lambda - \lambda_k\right)$ [/mm] ermitteln kannst.


Und, alle Klarheiten beseitigt?

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Polynom ausklammern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:16 Di 19.07.2005
Autor: toby-ffo

Vielen dank für die schnelle Antwort, es klingelt im Kopf!

Werd das nochmal durchrechnen, sollte aber keine Probleme mehr geben...

Gruß, toby
Bezug
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