Polynom hermitescher Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | Sei A (mit komplexen Einträgen) eine hermitesche Matrix. Wir nehmen an, es existiert ein m [mm] \in \IZ>0 [/mm] mit [mm] X^m=I [/mm] (I Einheitsmatrix).
Zeigen Sie: X³-2X²-X+2I=0. |
Hallo zusammen :),
ich habe nun einiges an Aufgaben zu Eigenwerten und dergleichen zur Übung bearbeitet, doch bei dieser finde ich noch nicht einmal einen Ansatz.
Scheinbar soll man hier zeigen, dass das charakteristische Polynom einer Matrix, deren Einträge wiederum Matrizen sind, 0 ergibt, aber ich wüsste nicht wie man das zeigen kann.
Vielen Dank schon mal im Voraus!!!
|
|
| |
|
moin,
Um dein Problem zu lösen würde ich dir folgende Schritte empfehlen:
1. Faktorisiere dein Polynom.
2. Grabe ein bisschen Wissen über hermitesche Matrizen aus, insbesondere: jede hermitesche Matrix ist diagonalisierbar und hat nur reelle Eigenwerte.
3. Was kannst du aus der Existenz deines $m$ für die Eigenwerte folgern?
Sollte es noch an einer Stelle hängen kannst du immer gern nachfragen. ;)
lg
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Orchis |
Ok, vielen lieben Dank erstmal!
Gut mit deinem Ansatz habe ich das Polynom auf die Form
(X-I)(X+I)(X-2I) gebracht. So weit so gut.
Was ich aber beim besten Willen nicht verstehe: Inwiefern kann man denn etwas über die diagonalisierte Matrix von X aussagen?
Für mich sieht das jetzt so aus, als könne man die Eigenwerte I,-I,2I einer Matrix A ablesen, wenn A diagonalisiert diese Form hat:
A:= [mm] \pmat{(X-I) & 0 & 0 \\ 0 & (X+I) & 0 \\ 0 & 0 & (X-2I)}, [/mm]
d.h. man müsste also zeigen, dass det(A)=0 ist...
Du siehst, das hab ich noch nicht verstanden :D. Wäre toll, wenn du mir da noch was unter die Arme greifen könntest
Lg Orchis
|
|
|
| |
|
Ah, Moment.
Zuerst mal meinte ich das Polynom, bevor eingesetzt wird.
Also die Faktorisierung wäre $(x-1)*(x+1)*(x-2)$ als ganzzahliges Polynom; in dieses wird danach die Matrix eingesetzt.
Nun nimm mal an, dass deine hermitesche Matrix die Form $A = [mm] BDB^{-1}$ [/mm] hat für eine Diagonalmatrix $D$ und eine invertierbare Matrix $B$.
Nun setzt mal $BDB$ in das Polynom (nennen wir es mal $p$) ein und zeige, dass $p(A) = 0 [mm] \gdw [/mm] p(D) = 0$.
Betrachtest du dir nun das faktorisierte Polynom so überleg dir mal, wieso da $0$ rauskommt, wenn du $D$ einsetzt.
Hierfür kannst du zum einen benutzen wie man eine Diagonalmatrix leicht potenzieren, addieren, etc. kann und du kannst verwenden, dass die Eigenwerte (und das sind ja gerade die Diagonaleinträge von $D$) aufgrund der Existenz deines $m$ eine ganz besondere Gestalt haben müssen.
lg
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Orchis |
Ok, wenn ich also p(D)=(D-I)*(D+I)*(D-2I) betrachte , dann müsste doch auch gelten [mm] D^m [/mm] = I und damit könnten die Eigenwerte (, da sie nur reel sind) ja eigentlich auch nur vom Betrag 1 haben. Daraus würde resultieren, dass entweder bei (D-I) oder bei (D+I) die Nullmatrix herauskommen würde und somit auch p(D) = 0 wäre.
Ist das so der richtige Gedankengang?
(Entschuldige, dass ich da etwas langsamer bin, aber mir fällt Lina immer etwas schwerer)
|
|
|
| |
|
> Ok, wenn ich also p(D)=(D-I)*(D+I)*(D-2I) betrachte , dann
> müsste doch auch gelten [mm]D^m[/mm] = I und damit könnten die
> Eigenwerte (, da sie nur reel sind) ja eigentlich auch nur
> vom Betrag 1 haben. Daraus würde resultieren, dass
> entweder bei (D-I) oder bei (D+I) die Nullmatrix
> herauskommen würde und somit auch p(D) = 0 wäre.
> Ist das so der richtige Gedankengang?
> (Entschuldige, dass ich da etwas langsamer bin, aber mir
> fällt Lina immer etwas schwerer)
Das ist schon fast perfekt.
Allerdings könnten sowohl $1$ als auch $-1$ gleichzeitig als Eigenwerte vorkommen, zu dem Fall müsstest du noch kurz 1-2 Worte verlieren.
lg
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Orchis |
Stimmt schon. Das ist dann ja eigentlich egal (schwer zu erklären), denn der Teil der Hauptdiagonalen, dessen Einträge bei (D-I) nicht zu Null werden, werden es aber dann bei (D+I) und deren Produkt wird dann (weil bei der Matrizenmultiplikation keine Zahlen [mm] \not= [/mm] 0 aufeinandertreffen) eben Null.
Also, jetzt werde ich das noch schön in Text einpacken!
Nochmals vielen Dank für die tatkräftige Hilfe!!! :)
LG
Orchis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 02.06.2012 | | Autor: | fred97 |
1. X hat nur reelle Eigenwerte.
2. Wegen [mm] X^m=I, [/mm] gilt für einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von X: [mm] \lambda^m=1.
[/mm]
Damit ist [mm] \lambda= \pm [/mm] 1.
3. Zeige: kern(X-I)= [mm] Kern((X-I)^2)= Kern((X-I)^3)= [/mm] ....
Ebenso: kern(X+I)= [mm] Kern((X+I)^2)= Kern((X+I)^3)= [/mm] ....
4. Aus 2. und 3. folgt: (X-I)(X+I)=0
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Orchis |
Hallo, vielen Dank für diese etwas andere Beweisskizze! :)
Ich bin nun den Weg von Shadowmaster gegangen, versuch mich aber auch mal an Ihrer Herangehensweise. Wenn ich es noch schaffen sollte, stell ich dann meine Lösung mal hier ins Forum.
|
|
|
|
