Polynom in R[z] und C[z] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Di 26.07.2011 | | Autor: | peter_k |
| Aufgabe | | Rechnen Sie nach, dass 1+i Nullstelle des Polynoms [mm] f(z)=z^4+3z^2-6z+10 [/mm] ist und zerlegen Sie f(z) sowohl in [mm] \IR[z], [/mm] als auch in [mm] \IC[z] [/mm] in Primfaktoren. |
Hallo.
Ich verstehe nicht ganz was der Unterschied zwischen [mm] \IR[z] [/mm] und [mm] \IC[z] [/mm] ist.
Ich habe das Polynom in Primfaktoren zerlegt: f(z)=(z-(1-i))(z-(1+i))(z-(-1+2i))(z-(-1-2i)).
Aber ist das nun in [mm] \IR[z] [/mm] oder in [mm] \IC[z]? [/mm] und wie zerlege ich das Polynom im anderen Körper?
Danke schonmal für Antworten
Peter
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Hallo peter_k,
> Rechnen Sie nach, dass 1+i Nullstelle des Polynoms
> [mm]f(z)=z^4+3z^2-6z+10[/mm] ist und zerlegen Sie f(z) sowohl in
> [mm]\IR[z],[/mm] als auch in [mm]\IC[z][/mm] in Primfaktoren.
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> Hallo.
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> Ich verstehe nicht ganz was der Unterschied zwischen [mm]\IR[z][/mm]
> und [mm]\IC[z][/mm] ist.
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> Ich habe das Polynom in Primfaktoren zerlegt:
> f(z)=(z-(1-i))(z-(1+i))(z-(-1+2i))(z-(-1-2i)). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist die Zerlegung in [mm]\IC[z][/mm]
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> Aber ist das nun in [mm]\IR[z][/mm] oder in [mm]\IC[z]?[/mm] und wie zerlege
> ich das Polynom im anderen Körper?
Nun, das Polynom hat ja keine reellen Nullstellen, zerfällt damit über [mm]\IR[/mm] nicht in Linearfaktoren.
Zerlege es in das Produkt zweier quadratischer Polynome [mm]f(z)=g(z)\cdot{}h(z)[/mm]
Dazu könntest du ansetzen mit:
[mm]g(z)=az^2+bz+c, h(z)=dz^2+ez+f[/mm], dann multiplizieren und Koeffizientenvgl. mit [mm]f(z)[/mm] ...
>
> Danke schonmal für Antworten
> Peter
Gruß
schachuzipus
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