Polynom teiler Problem < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | [mm] n\in\IZ^+ [/mm] und [mm] (c_{i}) [/mm] 0 <= i <= n eine familie ganzer Zahlen
1,
Man zeige für alle [mm] x\in\IZ [/mm] und für 0<=m<=n : Falls [mm] \summe_{i=0}^{n} c_{i}*x^{i} [/mm] = 0, so ist [mm] x^{m+1} [/mm] ein Teiler der ganzen Zahl [mm] s_{m}(x) [/mm] := [mm] \summe_{i=0}^{m} c_{i}*x^{i} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Es seien 0<=m<n und [mm] x\in\IZ, [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0. Unter der Vor [mm] "x^{m+1} [/mm] | [mm] s_{m}(x)" [/mm] zeige man mit [mm] q_{m}:= s_{m}(x)*x^{-(m+1)}
[/mm]
[mm] x^{m+2} [/mm] teilt [mm] s_{m+1}(x) [/mm] genau dann, wenn x ein Teiler von [mm] q_{m}(x) [/mm] + [mm] c_{m+1} [/mm] ist |
Voerst ist mein Ziel die erste aufgabe zu bewältigen, als Hinweis steht noch da, man soll [mm] s_{m}(x) [/mm] mit s{n}(x) vergleichen.
Meine Überlegung. Vergleicht man beide Summen ist es offensichtlich, dass [mm] s_{m}(x) [/mm] um von n-m bis n Glieder mehr enthält. Aber was hilft mir das, um zu beweisen: [mm] x^{m+1} [/mm] | [mm] s_{n}(x) [/mm] ???
Danach hab ich versucht nach dem standard Prinzip vorzugehen.
a * u = b (u muss ganze zahl sein das ist zu zeigen.
Stellt man die gleichung um hat man:
u = b/a = [mm] s_{n}(x) [/mm] / [mm] x^{m+1} [/mm] = [mm] s_{n}(x) [/mm] / [mm] (x^{m}*x^{1}) [/mm]
angemonnen im Nenner stehen a * c, so steht im zähler ja sicher irgendwo a + ... + c - kann man daraus irgendwie argumentieren dass u eine ganze zahl sein muss? Ich komm irgendwie nicht weiter, wie soll ich zeigen, dass die größte stelle eines Polynoms, ein teiler von dem "restlichen" Polynom ist?
Man soll quasi zeigen z.B.: [mm] x^8 [/mm] | [mm] 3*x^7+....x+4
[/mm]
Kann mir irgendwer helfen?
Viele Grüße
Mathe-mata
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mo 27.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> n [mm]\in[/mm] Z+ und [mm](c_{i})[/mm] 0 <= i <= n eine familie ganzer
> Zahlen
> 1,
> Man zeige für alle x [mm]\in[/mm] Z und für 0<=m<=n : Falls
> [mm]\summe_{i=0}^{n} c_{i}*x^{i}[/mm] = 0, so ist [mm]x^{m+1}[/mm] ein
> Teiler der ganzen Zahl [mm]s_{m}(x)[/mm] := [mm]\summe_{i=0}^{m} c_{i}*x^{i}[/mm]
>
> 2,
> Es seien 0<=m<n und x [mm]\in[/mm] Z, x [mm]\not=[/mm] 0. Unter der Vor
> [mm]"x^{m+1}[/mm] | [mm]s_{m}(x)"[/mm] zeige man mit [mm]q_{m}:= s_{m}(x)*x^{-(m+1)}[/mm]
>
> [mm]x^{m+2}[/mm] teilt [mm]s_{m+1}(x)[/mm] genau dann, wenn x ein Teiler von
> [mm]q_{m}(x)[/mm] + [mm]c_{m+1}[/mm] ist
> Voerst ist mein Ziel die erste aufgabe zu bewältigen, als
> Hinweis steht noch da, man soll [mm]s_{m}(x)[/mm] mit s{n}(x)
> vergleichen.
Eben! Es ist nämlich 0 = [mm] s_n(x) [/mm] = [mm] x^{m+1}*f(x) [/mm] + [mm] s_m(x) [/mm] mit einem Polynom f(x). Wenn du jetzt umstellst, hast du dein gewünschtes Ergebnis.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hi, vielen dank für die schnelle Hilfe, so ganz klar ist mir das leider noch nicht :/ um ehrlich zu sein, versteh ich nicht, das das unten mit de Teilbarkeit von [mm] x^{m+1} [/mm] | [mm] s_{n}(x) [/mm] zu tun ha?
Die Summe
[mm] s_{n}(x) [/mm] = [mm] s_{m}(x) [/mm] + [mm] \summe_{i=m+1}^{n} c_{i}*x^{i}= s_{n}(x) [/mm] + [mm] c_{m+1} x^{m+1} [/mm] + [mm] \summe_{i=m+2}^{n} c_{i}*x^{i}
[/mm]
Aber wir kommt man davon auf eine Argumentation über die Teilbarkeit?
Bzw. wie kann man deine Gleichung so umstellen, dass sich Argumentieren lässt? Was ist denn genau das f(x)?
Kann man so umstellen, dass [mm] x^{m+1} [/mm] auf der einen und, [mm] s_{n}(x) [/mm] auf der anderen seite steht? und daraus was ableiten?
Das wäre:
[mm] x^{m+1} [/mm] * f(x) + [mm] s_{n}(x) [/mm] = [mm] s_{m}(x) [/mm] ?? -> Ich komm irgendwie nicht weiter, weil ich keine idee hab wie die Teilbarkeit argumentiert werden kann?
Wäre über jede weiter hilfe sehr dankbar ;)
lg mathe-mata
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 27.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hi, vielen dank für die schnelle Hilfe, so ganz klar ist
> mir das leider noch nicht :/ um ehrlich zu sein, versteh
> ich nicht, das das unten mit de Teilbarkeit von [mm]x^{m+1}[/mm] |
> [mm]s_{n}(x)[/mm] zu tun ha?
>
> Die Summe
> [mm]s_{n}(x)[/mm] = [mm]s_{m}(x)[/mm] + [mm]\summe_{i=m+1}^{n} c_{i}*x^{i}= s_{n}(x)[/mm]
> + [mm]c_{m+1} x^{m+1}[/mm] + [mm]\summe_{i=m+2}^{n} c_{i}*x^{i}[/mm]
Du kannst das [mm] x^{m+1} [/mm] aus dem ganzen Rest ausklammern! Die Exponenten werden doch immer größer.
> Aber wir kommt man davon auf eine Argumentation über die
> Teilbarkeit?
> Bzw. wie kann man deine Gleichung so umstellen, dass sich
> Argumentieren lässt? Was ist denn genau das f(x)?
f(x) ist das, was in der Klammer übrig bleibt.
> Kann man so umstellen, dass [mm]x^{m+1}[/mm] auf der einen und,
> [mm]s_{n}(x)[/mm] auf der anderen seite steht? und daraus was
> ableiten?
> Das wäre:
>
> [mm]x^{m+1}[/mm] * f(x) + [mm]s_{n}(x)[/mm] = [mm]s_{m}(x)[/mm] ?? -> Ich komm
> irgendwie nicht weiter, weil ich keine idee hab wie die
> Teilbarkeit argumentiert werden kann?
Aber [mm] s_n(x) [/mm] ist doch 0 nach Annahme. Damit steht es da!
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Mathe-mata |
Ahhh, vielen dank, und weil - f(x) eine ganze Zahl ist, ist die Teilbarkeit gezeigt, oder?
Werd mich jetzzt mal mit der zweiten Teilaufgabe beschäftigen, hab aber noch nicht wirklich ne idee, induktion sieht ganz gut aus, aber mal sehen was des wird - hat jemand schon eine idee zur 2. teilaufgabe?
viel Grüße und danke soweit Tobi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mi 29.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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