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| Aufgabe | | Wenn ein Polynom mit reellen Koeffizienten transformiert wird, in dem man alle seine Nullstellen durch den Absolutbetrag von einer von ihnen dividiert, dann hat das entstandene Polynom eine Nullstelle auf dem Einheitskreis. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Anscheinend soll man die Variablen eines Polynoms skalar ändern, allerdings habe ich ein verständnis problem bei der Verschiebung und wie kann man denn dann auch zeigen, dass es eine Nullstelle auf dem Einheitskreis hat?
Vielen Dank für eure hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mo 11.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast also ein Polynom
$p(z) = [mm] (z-z_1)*(z-z_2)*...*(z-z_m)$.
[/mm]
Ist dann etwa [mm] $z_1 \not=0$, [/mm] so kannst Du das Polynom
$q(z) = [mm] (z-z_1/|z_1|)*(z-z_2/|z_1|)*...*(z-z_m/|z_1)$
[/mm]
betrachten. Wenn ich die Aufgabenstellung richtig interpretiert habe, ist die Aussage dann aber eine Trivialität .
Welche Nullstelle von q liegt auf dem Einheitskreis ?
FRED
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Man muss glaube ich ein polynom der Allgemeinen form
[mm] P(x)=a_0*x^n+...+a_n
[/mm]
betrachten, deine Polynom hast du schon in linear faktoren zerlegt und da können die einzelnen [mm] z\in \IC [/mm] liegen.
aber ausgehend von einem Polynom mit reellen koefffizienten, stelle ich mir eine transformation so vor.
mit [mm] a_0...a_n \in \IR
[/mm]
P(rx)= [mm] a_0*(rx)^n+...+an [/mm] und [mm] z_1,...z_k [/mm] sind die Nullstellen dann bei
r*x= [mm] z_k [/mm] also [mm] (z_k/r)= [/mm] x
mein problem ist jetzt wieso sind die nullstellen beim einheitskreis.
ps. es kann natürlich sein, dass ich komplett falsch liege ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 17.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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