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| Aufgabe | <br>(a) Es sei K ein Körper. Für f = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_{i}X^{i} \in [/mm] K[X] definieren wir die formale Ableitung f' = [mm] \summe_{i=1}^{n}ia_{i}X^{i-1} \in [/mm] K[X]. Zeigen Sie, dass die Produktregel (f*g)' = f'g + g'f für alle f,g [mm] \in [/mm] K[X] gilt.
(b) Es sei K [mm] \subseteq \IC [/mm] ein Körper und f [mm] \in [/mm] K[X]. Zeigen Sie, dass f genau dann nur einfache Primfaktoren besitzt, wenn ggT(f,f') = 1 gilt. Was passiert über einem beliebigen Körper K ?
Zur Erinnerung: Man sagt, dass ein Polynom nur einfache Primfaktoren besitzt, wenn in der Primfaktorzerlegung f = [mm] \produkt_{i=1}^{r}p_{i}^{e_{i}} [/mm] für alle i [mm] \le [/mm] r gilt: [mm] e_{i} [/mm] = 1.
(c) Es sei [mm] \phi: \IC^{n} \to \IC^{n} [/mm] eine lineare Abbildung endlicher Ordnung, d.h. es existiert ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \phi^{m} [/mm] = [mm] id_{\IC^{n}}, [/mm] wobei [mm] \phi^{m} [/mm] = [mm] \phi\circ...\circ\phi [/mm] wie üblich die m-fache Komposition von [mm] \phi [/mm] bezeichnet. Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar ist.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass jedes nicht konstante Polynom f [mm] \in \IC[X] [/mm] in Linearfaktoren zerfällt (Fundamentalsatz der Algebra).
(d) Konstruieren Sie über [mm] \IR [/mm] und [mm] über \IF_{3} [/mm] = [mm] \IZ/3\IZ [/mm] jeweils ein Beispiel einer linearen Abbildung endlicher Ordnung, welche nicht diagonalisierbar ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Bei der Bearbeitung von oben geschriebenen Aufgaben komme ich nicht weiter.
(a) ich vermute mal, dass ich partial ableiten sollte. Damit meine ich: Wenn ich nach f ableite, dann betrachte ich g als Konstante und umgekehrt. Ich weiß aber nicht, ob ich so auf die Frage antworten würde.
Bei den restlichen Teilen wären mir ein paar Tipps oder Ansätze sehr hilfreich.
Ich bedanke mich schon im Voraus für Eure Hilfe!
Mfg
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> (a) Es sei K ein Körper. Für f =
> [mm]\summe_{i=0}^{n}a_{i}X^{i} \in[/mm] K[X] definieren wir die
> formale Ableitung f' = [mm]\summe_{i=1}^{n}ia_{i}X^{i-1} \in[/mm]
> K[X]. Zeigen Sie, dass die Produktregel (f*g)' = f'g + g'f
> für alle f,g [mm]\in[/mm] K[X] gilt.
> (a) ich vermute mal, dass ich partial ableiten sollte.
> Damit meine ich: Wenn ich nach f ableite, dann betrachte
> ich g als Konstante und umgekehrt. Ich weiß aber nicht, ob
> ich so auf die Frage antworten würde.
Hallo,
nein, da hast Du etwas falsch verstanden.
Hier wird nicht partiell abgeleitet, sondern "ganz normal" nach x.
Im Grunde mußt Du übers Ableiten gar nichts wissen, es wird ja in der Aufgabe die formale Ableitung eines Polynoms definiert:
Für ein Polynom [mm] f:=\summe_{i=0}^{n}a_{i}X^{i} [/mm] ist
f' = [mm]\summe_{i=1}^{n}ia_{i}X^{i-1} \in[/mm].
Basta.
Überzeuge Dich still für Dich auf einem Zettelchen, daß dies mit der Dir bekannten Ableitung übereinstimmt, etwa, indem Du einfach mal von f:= [mm] 4x^7+2x^2-3 [/mm] nach obiger Definition die Ableitung bildest.
Diese formale Definition mußt Du nutzen, um (f*g)' zu berechnen für [mm] f:=\summe a_iX^I [/mm] und [mm] g:=\summe b_iX^i.
[/mm]
Sicher habt Ihr in der Vorlesung notiert, was f*g ergibt.
Darauf läßt Du dann die formale Ableitung los.
LG Angela
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| Aufgabe | Ich habe so versucht:
(f*g)' = (f)'*(g)' = [mm] (\summe_{i=1}^{n}ia_{i}X^{i-1})*(\summe_{i=1}^{n}ib_{i}X^{i-1}) [/mm] |
Ich vermute mal, dass ich verschiedene Grade nehmen sollte oder? Außerdem weiß ich nicht viel, wie ich diese Summenformeln multiplizieren kann.
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> Ich habe so versucht:
> [mm] \red{(f*g)' = (f)'*(g)'} [/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{n}ia_{i}X^{i-1})*(\summe_{i=1}^{n}ib_{i}X^{i-1})[/mm]
Hallo,
nach welcher Regel gilt die rotmarkierte Gleichheit?
Ich sag's Dir: nach einer selbstausgedachten...
Ich hatte doch gesagt, was Du machen mußt: erstmal das Produkt f*g berechnen, welches unter Garantie in der Vorlesung besprochen wurde.
Wenn Du das nachliest, klärt sich wahrscheinlich auch die Frage, wie man das mit den verschiedenen Graden unter Kontrolle bekommen kann.
Auf dieses Produkt dann die formale Ableitung anwenden.
LG Angela
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| Aufgabe | Als wir die Darstellungsmatrix gelernt haben, gab es etwas zur Multiplikation von Summenformeln, z.B:
[mm] (\summe_{i=0}^{n}a_{i})*(\summe_{k=0}^{m}v_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\summe_{k=0}^{m}a_{i}*v_{k}
[/mm]
Wenn ich nun das gleiche für meine Aufgabe verwende, dann habe ich:
seien f = [mm] \summe_{i_{1}=0}^{n}a_{i_{1}}x^{i_{1}}, [/mm] g = [mm] \summe_{i_{2}=0}^{m}b_{i_{2}}x^{i_{2}} [/mm] , dann gilt:
f*g = [mm] \summe_{i_{1}=0}^{n}\summe_{i_{2}=0}^{m}a_{i_{1}}*b_{i_{2}}*x^{i_{1}+i_{2}}
[/mm]
wie benutze ich die formale Ableitung hier?
Das habe ich bei meiner Vermutung:
(f*g)' = [mm] \summe_{i_{1}=1}^{n}\summe_{i_{2}=1}^{m}(i_{1}+i_{2})*a_{i_{1}}*b_{i_{2}}*x^{i_{1}+i_{2}-1}
[/mm]
Multipliziere ich aus und ziehe die Summen voneinander, dann bekomme ich dies:
[mm] \summe_{i_{1}=1}^{n}i_{1}a_{i_{1}}x^{i_{1}-1}*\summe_{i_{2}=1}^{m}bi_{2}x^{i_{2}}+\summe_{i_{1}=1}^{n}a_{i_{1}}x^{i_{1}}*\summe_{i_{2}=1}^{m}i_{2}b_{i_{2}}x^{i_{2}-1}
[/mm]
Da sieht man schon f' und g', aber wie komme ich auf f und g ? |
Ist das Rechenverfahren richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 02.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 01.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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