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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Polynom und Linearfaktoren
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Polynom und Linearfaktoren: Gleichheit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Di 15.05.2007
Autor: LittleStudi

Aufgabe
Es seine P [mm] \in [/mm] K[X] ein Polynom, P [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \lambda_{1},..., \lambda_{k} [/mm] die verschiedenen Nullstellen von P.
Zeigen Sie dass dann gilt:
[mm] \mu(P,\lambda_{1})+ [/mm] ... + [mm] \mu(P,\lambda_{k}) \le [/mm] grad(P)
Gleichheit gilt genau dann, wenn P in Linearfaktoren zerfällt.

Unser Proffessor meinte dass man dies ohne großen Aufwand zeigen könnte ... aber nun weiß ich nicht wie.
Selbst beim Gleichgheitsfall hab ich noch keine Beweisidee :(

Wisst ihr vielleicht mehr???

        
Bezug
Polynom und Linearfaktoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Di 15.05.2007
Autor: felixf

Hallo!

> Es seine P [mm]\in[/mm] K[X] ein Polynom, P [mm]\not=[/mm] 0 und
> [mm]\lambda_{1},..., \lambda_{k}[/mm] die verschiedenen Nullstellen
> von P.
>  Zeigen Sie dass dann gilt:
>  [mm]\mu(P,\lambda_{1})+[/mm] ... + [mm]\mu(P,\lambda_{k}) \le[/mm] grad(P)
>  Gleichheit gilt genau dann, wenn P in Linearfaktoren
> zerfällt.
>
>  Unser Proffessor meinte dass man dies ohne großen Aufwand
> zeigen könnte ...

Wenn [mm] $P(\lambda) [/mm] = 0$ ist und $P [mm] \neq [/mm] 0$, dann ist [mm] $\hat{P} [/mm] := [mm] \frac{P}{X - \lambda}$ [/mm] ebenfalls ein Polynom mit [mm] $\deg \hat{P} [/mm] = [mm] \deg [/mm] P - 1$, mit [mm] $\mu(\hat{P}, \lambda) [/mm] = [mm] \mu(P, \lambda) [/mm] - 1$ und mit [mm] $\mu(\hat{P}, \lambda') [/mm] = [mm] \mu(P, \lambda')$ [/mm] fuer alle [mm] $\lambda' \neq \lambda$. [/mm]

> aber nun weiß ich nicht wie.
>  Selbst beim Gleichgheitsfall hab ich noch keine Beweisidee
> :(

Dir sollte bei dem obigen Beweis jetzt eine Idee kommen. Wenn ein [mm] $\mu(P, \lambda) [/mm] > 0$ ist, kannst du von $P$ den Linearfaktor $X - [mm] \lambda$ [/mm] abspalten.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Polynom und Linearfaktoren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:18 Di 15.05.2007
Autor: LittleStudi

kann man sagen dass man den Linfaktor [mm] (X-\lambda) [/mm] genau k mal von P abspalten kann und somit der Polynom aus k-fachen Vektoren besteht, die alle lin. unabhängig sind und somit den Polynom grad k erzeugen?

Bezug
                        
Bezug
Polynom und Linearfaktoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Di 15.05.2007
Autor: M.Rex


> kann man sagen dass man den Linfaktor [mm](X-\lambda)[/mm] genau k
> mal von P abspalten kann und somit der Polynom aus k-fachen
> Vektoren besteht, die alle lin. unabhängig sind und somit
> den Polynom grad k erzeugen?


Nicht ganz:

Wenn [mm] \lambda [/mm] eine k-fache Nullstelle wäre, könnte man [mm] (X-\lambda) [/mm] k-mal abspalten.

Hier kannst du, da die [mm] \lambda_{i}s [/mm] alle verschieden sind [mm] (X-\lambda_{i}) [/mm] jeweils einmal abspalten.

Beispiel:

(x-1)(x+2)(x-3)(x²+1) ist ein Polynom in [mm] \IR [/mm] vom Grad 5. Aber x²+1 zerfällt in [mm] \IR [/mm] nicht weiter in Linearfaktoren.

Hilft das erstmal weiter?

Marius



Bezug
                                
Bezug
Polynom und Linearfaktoren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:41 Di 15.05.2007
Autor: LittleStudi

Ja, aber im Fall der Gleichheit muss ich es doch gerade k-mal abspalten können damit die "abgespaltenen Teile" die gleiche Anzahl und den selben grad wie das Polynom P haben oder?

Bezug
                                        
Bezug
Polynom und Linearfaktoren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Do 17.05.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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