Polynomaufgabe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 So 08.09.2013 | | Autor: | nobodon |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes normiertes Polynom vom Grade n
$ P(z) = [mm] z^n [/mm] + [mm] a_{n-1}*z^{n-1} +...+a_0 [/mm] $ mit n eine natürliche Zahl größer 1.
Dann gilt, es gibt ein $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit |z| = 1, sodass |P(z)| >= 1 gilt. |
Hey Leute!
Mein Beweis durch Widerspruch. Nehme also das Gegenteil an.
Betrachte außerdem alle Nullstellen die innerhalb des Einheitskreises (um Null mit Radius 1) liegen inklusiven denen Nullstellen die auf dem Rand liegen ( |z| =1). Seien dies $ [mm] b_1, [/mm] ... [mm] b_k [/mm] $ (mit Vielfachheit aufgezählt). Sei
$K(z) = [mm] (z-b_1)*...(z-b_k)$ [/mm] und wähle Q(z) sd. $ P(z) = c*K(z)*Q(z) $ mit einer Konstante c.
Nach Gegenannahme und Maximumsprinzip gilt:
$|P(z)| [mm] \le [/mm] max(|P(z))| $ ( wobei sich max auf |z| = 1 bezieht, ich wusste nicht wie man das hier sauber darstellt sry), also
$|P(z)| [mm] \le [/mm] max(|P(z))| [mm] \le [/mm] 1$ nach Gegenannahme.
Daraus folgt $|Q(z)| [mm] \le [/mm] 1/c*K(z) $ für alle |z| > R, wobei R strikt größer 1 gewählt wird. Aber $1/c*K(z) $ ist beschränkt, denn $1/c*K(z) $ möglichst groß, wenn Nenner möglichst klein, d.h. jeder einzelner Linearfaktor von K(z) möglichst nahe an Null, dies ist aber eindeutig bestimmt. Weil Q(z) ganze Funktion folgt mit Lioville Q(z) konstant, also alle Nullstellen von P(z) innerhalt des Einheitskreises mit Rand. Widerspruch!
Ich glaube mein Beweis stimmt nicht ganz, da ich normiert nicht verbraten hab
Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 So 08.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie folgendes normiertes Polynom vom Grade n
> [mm]P(z) = z^n + a_{n-1}*z^{n-1} +...+a_0[/mm] mit n eine
> natürliche Zahl größer 1.
> Dann gilt, es gibt ein [mm]z \in \IC[/mm] mit |z| = 1, sodass
> |P(z)| >= 1 gilt.
> Hey Leute!
>
> Mein Beweis durch Widerspruch. Nehme also das Gegenteil
> an.
> Betrachte außerdem alle Nullstellen die innerhalb des
> Einheitskreises (um Null mit Radius 1) liegen inklusiven
> denen Nullstellen die auf dem Rand liegen ( |z| =1).
Solche Nullstellen muss es nicht geben !
Beispiele: P(z)=z-201, [mm] P(z)=z^2-4, [/mm] ...
> Seien
> dies [mm]b_1, ... b_k[/mm] (mit Vielfachheit aufgezählt). Sei
> [mm]K(z) = (z-b_1)*...(z-b_k)[/mm] und wähle Q(z) sd. [mm]P(z) = c*K(z)*Q(z)[/mm]
> mit einer Konstante c.
>
> Nach Gegenannahme und Maximumsprinzip gilt:
>
> [mm]|P(z)| \le max(|P(z))|[/mm] ( wobei sich max auf |z| = 1
> bezieht, ich wusste nicht wie man das hier sauber darstellt
> sry), also
> [mm]|P(z)| \le max(|P(z))| \le 1[/mm] nach Gegenannahme.
> Daraus folgt [mm]|Q(z)| \le 1/c*K(z)[/mm] für alle |z| > R, wobei
> R strikt größer 1 gewählt wird. Aber [mm]1/c*K(z)[/mm] ist
> beschränkt, denn [mm]1/c*K(z)[/mm] möglichst groß, wenn Nenner
> möglichst klein, d.h. jeder einzelner Linearfaktor von
> K(z) möglichst nahe an Null, dies ist aber eindeutig
> bestimmt. Weil Q(z) ganze Funktion folgt mit Lioville Q(z)
> konstant, also alle Nullstellen von P(z) innerhalt des
> Einheitskreises mit Rand. Widerspruch!
>
>
> Ich glaube mein Beweis stimmt nicht ganz, da ich normiert
> nicht verbraten hab
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Nimm an, es sei |P(z)|<1 für alle z mit |z|=1.
Setze [mm] Q(z):=z^n
[/mm]
Dann ist |P(z)|<|Q(z)| für alle z mit |z|=1.
Was sagt der Satz von Rouché dazu ?
FRED
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 08.09.2013 | | Autor: | nobodon |
Anscheinend kommt man dann mit Roche auf dasselbe Ergebnis wie ich oben bei meienm Beweis:
Unter der Gegenannahme hat das normierte Polynom, alle Nullstellen innerhalb des Einheitkreises (hier ohne Rand). Jetzt müsste man zeigen dass dies ein Widerspruch ist (falls es denn einer ist). Ich finde kein soclhes Polynom... Wie geht es weiter?
ps: Mir ist klar dass es solche Nullstellen nach obiger Anmerkung nicht geben musst, dann ist eben K(z) = 1. Und der Beweis geht trotzdem, denke ich. Weiß nur nciht wo ich normiertheit benutzt habe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 08.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Anscheinend kommt man dann mit Roche auf dasselbe Ergebnis
> wie ich oben bei meienm Beweis:
Nein.
>
> Unter der Gegenannahme hat das normierte Polynom, alle
> Nullstellen innerhalb des Einheitkreises (hier ohne Rand).
Das ist nicht die "Gegenannahme" !
> Jetzt müsste man zeigen dass dies ein Widerspruch ist
> (falls es denn einer ist). Ich finde kein soclhes
> Polynom... Wie geht es weiter?
>
> ps: Mir ist klar dass es solche Nullstellen nach obiger
> Anmerkung nicht geben musst, dann ist eben K(z) = 1. Und
> der Beweis geht trotzdem, denke ich.
..... wenn Du meinst .....
>Weiß nur nciht wo ich
> normiertheit benutzt habe...
Nirgendwo.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 08.09.2013 | | Autor: | nobodon |
Jetzt mal ganz elementar.
es gibt ein $z [mm] \in \IC, [/mm] |z| = 1$, sodass $P(z) [mm] \ge [/mm] 1$
Negiere, also gegenannahme für alle $z [mm] \in \IC, [/mm] |z| = 1$, gilt $P(z) < 1$
Und zu Roche falls $Q(z) = [mm] z^n$ [/mm] und P(z) wie in Aufgabe dann gilt, dann gilt für alle $z [mm] \in \IC, [/mm] |z| = 1$
$|P(z) - Q(z)| [mm] \le [/mm] |P(z)| < 1 = |Q(z)|$, daraus folgt, dass Q und P diesselbe anzahl an Nullstellen im Kreisinneren haben, also n.
Und wie geht es jetzt weiter bzw auf was wolltest du hinaus?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 08.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt mal ganz elementar.
>
> es gibt ein [mm]z \in \IC, |z| = 1[/mm], sodass [mm]P(z) \ge 1[/mm]
Beträge !!!
> Negiere,
> also gegenannahme für alle [mm]z \in \IC, |z| = 1[/mm], gilt [mm]P(z) < 1[/mm]
Beträge !!!
>
> Und zu Roche
So heißt der Mann nicht !!!
> falls [mm]Q(z) = z^n[/mm] und P(z) wie in Aufgabe dann
> gilt, dann gilt für alle [mm]z \in \IC, |z| = 1[/mm]
> [mm]|P(z) - Q(z)| \le |P(z)| < 1 = |Q(z)|[/mm],
Das ist doch Quatsch ! wie kommst Du auf das erste [mm] \le [/mm] ?
> daraus folgt, dass Q und P diesselbe anzahl an Nullstellen
> im Kreisinneren haben, also n.
Nein so nicht !
> Und wie geht es jetzt weiter bzw auf was wolltest du
> hinaus?
Wir haben:
[mm]|P(z)| < 1 = |Q(z)|[/mm] für alle z mit |z|=1
Rouché sagt nun:
P-Q und Q haben dieselbe Anzahl von Nullstellen im offenen Einheitskreis(gezählt mit Vielfachheiten)
Das ist aber Murks, denn P-Q ist ein Polynom vom Grade n-1, hat also im offenen Einheitskreis höchstens n-1 Nullstellen.
Q hat aber im offenen Einheitskreis genau n Nullstellen.
FRED
>
> Gruß
|
|
|
|
