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Polynomdivision: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Fr 08.06.2007
Autor: headbanger

Aufgabe
Zeigen sie, dass die Gleichung x³ - 4x² + 3x + 2 = 0

Beweisen sie, dass [mm] x_{1} [/mm] = 2 und  bestimmen sie die vollständige Lösungsmenge

Ich habe 2 in alle x eingesetzt und 0 kam raus --> q.e.d.

ABER bei der Lösungsmengenbestimmung habe ich schwierigkeiten.

Die Lösung besagt, dass man das Polynom mit "x-2" dividieren muss. [mm] x_{1} [/mm] ist aber "+"2. Wieso wird das Vorzeichen vertauscht?


mfg

        
Bezug
Polynomdivision: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Fr 08.06.2007
Autor: Disap

Hi.

> Zeigen sie, dass die Gleichung x³ - 4x² + 3x + 2 = 0
>
> Beweisen sie, dass [mm]x_{1}[/mm] = 2 und  bestimmen sie die
> vollständige Lösungsmenge
>  Ich habe 2 in alle x eingesetzt und 0 kam raus --> q.e.d.

[daumenhoch]

>  
> ABER bei der Lösungsmengenbestimmung habe ich
> schwierigkeiten.
>  
> Die Lösung besagt, dass man das Polynom mit "x-2"
> dividieren muss. [mm]x_{1}[/mm] ist aber "+"2. Wieso wird das
> Vorzeichen vertauscht?  

Das liegt daran, dass du deine Funktion gerne in ein Produkt der Nullstellen aufsplitten möchtest. So lässt sich die Funktion
$h(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 6x^2 [/mm] + 11x - 6$
auch so darstellen: $h(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

In so einer Form kannst du sofort die Nullstellen ablesen, die wären dann [mm] x_1=1, x_2=2, x_3 [/mm] = 3.

$h(1) = [mm] 1^3 [/mm] - [mm] 6*1^2 [/mm] + 11*1 - 6 = 0$

+1 ist also eine Nullstelle, daher gilt für den einen Faktor (x - 1), da dieser (wenn man die Nullstelle [mm] x_1=1 [/mm] einsetzt) Null ergeben muss.

mfg

Bezug
        
Bezug
Polynomdivision: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Fr 08.06.2007
Autor: Dunbi


> Die Lösung besagt, dass man das Polynom mit "x-2"
> dividieren muss. [mm]x_{1}[/mm] ist aber "+"2. Wieso wird das
> Vorzeichen vertauscht?  

Ich habe es mir so gemerkt:

Habe ich: [mm]h(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)[/mm] ,
so muss ich "nur" dafür sorgen, dass eine Klammer Null ergibt, damit die gesamte Gleichung  Null ergibt (0*...=0). (-->Jede Nullstelle der Klammer ist eine Nullstelle der gesamten Gleichung) -->

(x-2)=0
     x1=2
(x-1)=0
     x2=1
(x-3)=0
     x3=3

Gruß Dunbi

Bezug
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