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| Aufgabe | Löse nach x auf:
a) [mm] x^4 [/mm] - [mm] 6x^3 [/mm] - [mm] 7x^2 [/mm] = 0
b) [mm] x^3 [/mm] - 4x = 0
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Hallo zusammen,
im Rahmen einer Kurvendiskussion muss ich,um die Schnittpunkte mit der x-Achse (also die Nullstellen) herauszufinden, Gleichungen nach x auflösen. Kommt nun nur [mm] x^2 [/mm] und x vor, komme ich mit der pq-Formel zurecht, bei [mm] x^4 [/mm] und [mm] x^2 [/mm] klappt alles super mit Hilfe der Substitution.
Nun habe ich zu Beispiel oben gepostete Beispiele. Ich weiss, dass ich diese mit Hilfe der Polynomdivision lösen kann. Doch mein Problem ist: Dividend ist vorhanden, wo oder wie komme ich an einen geeigneten Divisor?
Ich habe diese Frage (selbstverständlich) nirgends anders gestellt.
Lieben Gruß
Sarah
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Hallo Sarah,
> Löse nach x auf:
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> a) [mm]x^4[/mm] - [mm]6x^3[/mm] - [mm]7x^2[/mm] = 0
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> b) [mm]x^3[/mm] - 4x = 0
>
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> Hallo zusammen,
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> im Rahmen einer Kurvendiskussion muss ich,um die
> Schnittpunkte mit der x-Achse (also die Nullstellen)
> herauszufinden, Gleichungen nach x auflösen. Kommt nun nur
> [mm]x^2[/mm] und x vor, komme ich mit der pq-Formel zurecht, bei [mm]x^4[/mm]
> und [mm]x^2[/mm] klappt alles super mit Hilfe der Substitution.
>
> Nun habe ich zu Beispiel oben gepostete Beispiele. Ich
> weiss, dass ich diese mit Hilfe der Polynomdivision lösen
> kann.
Puh, das brauchst du hier nicht, schaue mal genau hin:
Es ist doch in (a) [mm] $f(x)=0\gdw x^4-6x^3-7x^2=0$
[/mm]
Was fällt denn hier direkt auf?
Allen Summanden ist der Faktor [mm] $x^2$ [/mm] gemeinsam, den kannst du also ausklammern
[mm] $\gdw x^2\cdot{}(x^2-6x-7)=0$
[/mm]
Dann kennst du bestimmt den Satz vom Nullprodukt (wenn auch vllt. nicht unter diesem Namen): ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist
Also [mm] $\gdw x^2=0 [/mm] \ [mm] \mbox{oder} [/mm] \ [mm] x^2-6x-7=0$
[/mm]
Und das kannst du im Schlaf lösen ohne irgendeine Polynomdivision machen zu müssen, oder? 
Ganz ähnlich kannst du bei (b) vorgehen, dort kannst du $x$ ausklammern...
> Doch mein Problem ist: Dividend ist vorhanden, wo
> oder wie komme ich an einen geeigneten Divisor?
>
> Ich habe diese Frage (selbstverständlich) nirgends anders
> gestellt.
>
> Lieben Gruß
> Sarah
LG
schachuzipus
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Sehr gut, vielen Dank schon mal für deine Antwort. Also b ist mir nun soweit klar. Da habe ich nun gerechnet:
[mm] x^3 [/mm] - 4x = 0
x [mm] (x^2 [/mm] - 4) = 0
also
x=0
oder
[mm] x^2 [/mm] -4 = 0
[mm] x^2 [/mm] = 4
x = 2
D.h. die Nullstellen sind : [mm] N_1 [/mm] ( 0/0) und [mm] N_2 [/mm] (2/0)
Richtig?
Nun habe ich aber Probleme bei der a. Irgendwie blick ich da noch nicht so ganz durch. Also ich hab gerechnet:
[mm] x^4 [/mm] - [mm] 6x^3 [/mm] - [mm] 7x^2 [/mm] = 0
[mm] x^2 (x^2 [/mm] - 6x - 7) = 0
also
x=0
oder
[mm] x^2 [/mm] - 6x - 7 = 0
[mm] x_1/2 [/mm] = 3 [mm] \pm \wurzel{9+7}
[/mm]
= 3 [mm] \pm \wurzel{26}
[/mm]
So, und die Wurzel aus 26 ist eine krumme Zahl... also was mache ich jetzt? Hab ich mich verrechnet? Oder muss ich nun runden?
Achja, es wäre trotzdem sehr hilfreich zu wissen, nach welchen Kriterien man den Divisor findet, denn mir sind beim üben durch aus schon Aufgaben untergekommen, wo man nicht ausklammern konnte. Aber dennoch danke für den Tipp :)
Liebe Grüße
Sarah
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Hallo nochmal,
> Sehr gut, vielen Dank schon mal für deine Antwort. Also b
> ist mir nun soweit klar. Da habe ich nun gerechnet:
>
> [mm]x^3[/mm] - 4x = 0
> x [mm](x^2[/mm] - 4) = 0
>
> also
>
> x=0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> oder
>
> [mm]x^2[/mm] -4 = 0
> [mm]x^2[/mm] = 4
> x = 2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hast du da nicht eine Lösung unterschlagen? [mm] $x^2=4\gdw [/mm] x=2 \ [mm] \mbox{oder} [/mm] \ x=...$
Überleg' nochmal, welche Zahl quadriert denn noch 4 ergibt
>
> D.h. die Nullstellen sind : [mm]N_1[/mm] ( 0/0) und [mm]N_2[/mm] (2/0)
>
> Richtig?
Und eine, die noch fehlt...
>
> Nun habe ich aber Probleme bei der a. Irgendwie blick ich
> da noch nicht so ganz durch. Also ich hab gerechnet:
>
> [mm]x^4[/mm] - [mm]6x^3[/mm] - [mm]7x^2[/mm] = 0
> [mm]x^2 (x^2[/mm] - 6x - 7) = 0
>
> also
>
> x=0
>
> oder
>
> [mm]x^2[/mm] - 6x - 7 = 0
>
> [mm]x_1/2[/mm] = 3 [mm]\pm \wurzel{9+7}[/mm]
> = 3 [mm]\pm \wurzel{26}[/mm]
Oh weia, 9+7=16, oder?
>
> So, und die Wurzel aus 26 ist eine krumme Zahl... also was
> mache ich jetzt? Hab ich mich verrechnet? Oder muss ich nun
> runden?
>
> Achja, es wäre trotzdem sehr hilfreich zu wissen, nach
> welchen Kriterien man den Divisor findet, denn mir sind
> beim üben durch aus schon Aufgaben untergekommen, wo man
> nicht ausklammern konnte. Aber dennoch danke für den Tipp
> :)
Im allgemeinen rätst du eine NST [mm] x_0, [/mm] dann kannst du eine Polynomdivision [mm] $f(x):(x-x_0)$ [/mm] machen und so den Linearfaktor [mm] $(x-x_0)$ [/mm] abspalten
Bei Polynomen gilt: Wenn es eine ganzzahlige NST gibt, so ist sie ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes, also desjenigen ohne x
Das Erleichtert das Raten dann sehr.
Wenn du so eine ganzzahlige NST findest, kannst wie oben gesagt den Linearfaktor [mm] $(x-x_0)$ [/mm] abspalten und vom Restpolynom die evtl. weitere(n) NST(en) bestimmen
Wenn du allerdings keine "nette" ganzzahlige NST findest, bleibt dir nur ein Näherungsverfahren, zB. das Newtonverfahren..
Ich gebe dir mal ein Bsp.:
Bestimme die NST(en) von [mm] $p(x)=x^3-7x-6$
[/mm]
Das kannst du ja mal nach dem obigen Schema angehen...
> Liebe Grüße
> Sarah
LG
schachuzipus
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Ups, ich war zwar schon immer ne Niete in Mathe, aber der Rechenfehler ist mir dann doch etwas peinlich. Entschuldige, ich steh wohl etwas neben der Spur *rotwerd*
Gut, dann kommt da also onch die Nullstelle [mm] N_3 [/mm] (-2/0) hinzu, richtig?
Okay, also ich hab mich mal an dein Beispiel gegeben. Da es zuviel wäre hier nun die komplette Rechnung hinzuschreiben, schreib ich nur mal das Wesentliche auf:
[mm] (x^3-7x-6) [/mm] : (x-3) = [mm] x^2+3x+2
[/mm]
Habe ich richtig gerechnet?
Woher weiss ich denn nun, dass ich durch -3 teilen muss? Ich hätte doch ebenso gut -2 oder -1 nehmen können, oder? Aber bei beiden Ergebnissen kommt dann ein Rest raus, was ja eigentlich nicht soll (zumindest wenn man davon ausgeht, dass ich mich nicht mal wieder verrechnet habe).
Liebe Grüße
Sarah
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Hallo nochmal,
> Ups, ich war zwar schon immer ne Niete in Mathe, aber der
> Rechenfehler ist mir dann doch etwas peinlich.
> Entschuldige, ich steh wohl etwas neben der Spur *rotwerd*
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Nana, das kann in der Eile immer passieren
>
> Gut, dann kommt da also onch die Nullstelle [mm]N_3[/mm] (-2/0)
> hinzu, richtig?
>
> Okay, also ich hab mich mal an dein Beispiel gegeben. Da es
> zuviel wäre hier nun die komplette Rechnung hinzuschreiben,
> schreib ich nur mal das Wesentliche auf:
>
> [mm](x^3-7x-6)[/mm] : (x-3) = [mm]x^2+3x+2[/mm]
>
> Habe ich richtig gerechnet?
>
> Woher weiss ich denn nun, dass ich durch [mm] $\red{(x}-3\red{)}$ [/mm] teilen muss?
> Ich hätte doch ebenso gut -2 oder -1 nehmen können, oder?
> Aber bei beiden Ergebnissen kommt dann ein Rest raus, was
> ja eigentlich nicht soll (zumindest wenn man davon ausgeht,
> dass ich mich nicht mal wieder verrechnet habe).
>
Welche NST du nun zuerst abspaltest, ist egal, du hast's halt so gemacht, dass du die eine NST [mm] $x_0=3$ [/mm] erraten hast.
Dann kannst du $p(x)$ durch [mm] $(x-x_0)$, [/mm] also durch $(x-3)$ teilen
Genauso gut hättest du die NST [mm] $x_1=-1$ [/mm] erraten/nehmen können und $p(x)$ durch [mm] $(x-x_1)=(x-(-1))=(x+1)$ [/mm] teilen können
> Liebe Grüße
> Sarah
LG
schachuzipus
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Ist soweit verstanden. Ich danke dir recht herzlich, schachuzipus  )
Einen schönen Tag noch wünsch ich dir
Sarah
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Di 27.05.2008 | | Autor: | aram |
Hallo Sarah!
> Sehr gut, vielen Dank schon mal für deine Antwort. Also b
> ist mir nun soweit klar. Da habe ich nun gerechnet:
>
> [mm]x^3[/mm] - 4x = 0
> x [mm](x^2[/mm] - 4) = 0
>
> also
>
> x=0
>
> oder
>
> [mm]x^2[/mm] -4 = 0
> [mm]x^2[/mm] = 4
> x = 2
>
> D.h. die Nullstellen sind : [mm]N_1[/mm] ( 0/0) und [mm]N_2[/mm] (2/0)
>
> Richtig?
>
> Nun habe ich aber Probleme bei der a. Irgendwie blick ich
> da noch nicht so ganz durch. Also ich hab gerechnet:
>
> [mm]x^4[/mm] - [mm]6x^3[/mm] - [mm]7x^2[/mm] = 0
> [mm]x^2 (x^2[/mm] - 6x - 7) = 0
>
> also
>
> x=0
Vergiss nicht, dass das eine doppelte NST ist
[mm] x^{2} [/mm] = x * x und auch hier gilt der Staz vom Nullprodukt: [mm] x_{1} [/mm] =0 und [mm] x_{2} [/mm] = 0
>
> oder
>
> [mm]x^2[/mm] - 6x - 7 = 0
>
> [mm]x_1/2[/mm] = 3 [mm]\pm \wurzel{9+7}[/mm]
> = 3 [mm]\pm \wurzel{26}[/mm]
>
> So, und die Wurzel aus 26 ist eine krumme Zahl... also was
> mache ich jetzt? Hab ich mich verrechnet? Oder muss ich nun
> runden?
>
> Achja, es wäre trotzdem sehr hilfreich zu wissen, nach
> welchen Kriterien man den Divisor findet, denn mir sind
> beim üben durch aus schon Aufgaben untergekommen, wo man
> nicht ausklammern konnte. Aber dennoch danke für den Tipp
> :)
>
> Liebe Grüße
> Sarah
Mfg Aram
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