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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 02.09.2008 | | Autor: | fertig |
| Aufgabe | f (x) = 4x³-8x²-11x-3 , x [mm] \in \IR
[/mm]
Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f die Abszissenachse an der Stelle x=3 schneidet. Untersuchen Sie, ob es weitere Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse gibt. |
Hallo,
meine bisherige Rechnung lautet wie folgt:
f(x)=3 ->
3=4x³ - 8x² - 11x -3
0=4x³-8x²-11x-6
0= x³ - 2x² - [mm] \bruch{11x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
... meine Lehrerin meinte ich müsste das Ganze durch eine Polynomdivision lösen .. nur habe ich leider keine Ahnung wie ich nun fortfahren soll, um auf das Ergebnis zu kommen.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Danke,
fertig
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> f (x) = 4x³-8x²-11x-3 , x [mm]\in \IR[/mm]
> Weisen Sie nach, dass
> der Graph der Funktion f die Abszissenachse an der Stelle
> x=3 schneidet. Untersuchen Sie, ob es weitere Schnittpunkte
> des Graphen von f mit der x-Achse gibt.
> Hallo,
> meine bisherige Rechnung lautet wie folgt:
> f(x)=3 ->
> 3=4x³ - 8x² - 11x -3
> 0=4x³-8x²-11x-6
> 0= x³ - 2x² - [mm]\bruch{11x}{2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> ... meine Lehrerin meinte ich müsste das Ganze durch eine
> Polynomdivision lösen .. nur habe ich leider keine Ahnung
> wie ich nun fortfahren soll, um auf das Ergebnis zu
> kommen.
Wenn Du eine Nullstelle [mm] $x_1$ [/mm] einer ganzrationalen Funktion (Polynomfunktion) $f(x)$ kennst, dann lässt sich vom Funktionsterm von $f$ durch Polynomdivision ein Faktor [mm] $x-x_1$ [/mm] abspalten. So dass also gilt: [mm] $f(x)=(x-x_1)\cdot [/mm] g(x)$. Wobei $g$ eine ganzrationale Funktion von um 1 kleinerem Grad als $f$ ist.
Für eine detailierte Beschreibung der Polynomdivision siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) diese Webseite.
Bei Deiner Aufgabe ist
[mm] (4x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] - 11x - 3) : (x - 3) = [mm] 4x^2 [/mm] + 4x + 1
[mm] 4x^3 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm]
[mm] 4x^2 [/mm] - 11x - 3
[mm] 4x^2 [/mm] - 12x
x - 3
x - 3
0
Es ist also [mm] $f(x)=(x-3)\cdot (4x^2+4x+1)$ [/mm] und daher kannst Du die Nullstellengleichung $f(x)=0$ so schreiben:
[mm](x-3)\cdot (4x^2+4x+1)=0[/mm]
Die weiteren Nullstellen von $f(x)$, neben der bereits bekannten Nullstelle [mm] $x_1=3$, [/mm] müssen somit Lösungen der quadratischen Gleichung [mm] $4x^2+4x+1=0$ [/mm] sein.
Untersuche also nun diese quadratische Gleichung auf die Existenz von (reellen) Lösungen. Bedenke auch: nur wenn es sich bei den weiteren Nullstellen von $f$ um einfache Nullstellen handelt, kann man von einem eigentlichen Schneiden der $x$-Achse sprechen. In Nullstellen höherer Ordnung (jedenfalls in Nullstellen gerader Ordnung, [mm] $\geq [/mm] 2$) berührt der Graph von $f$ die $x$-Achse, schneidet sie aber nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 02.09.2008 | | Autor: | fertig |
Erst einmal ein Riesendankeschön für die Hilfe, jetzt ist mir so einiges klarer.
Ich habe nun einmal den Rest gelöst:
4x²+4x-1=0
und nun habe ich das ganze in die pq-formel eingesetzt:
[mm] \bruch{4}{2} \pm \wurzel{ \bruch{4²}{4} -1 }
[/mm]
vor dem ganzen muss allerdings noch ein "-" stehen, nur es war irgendwie nicht möglich das so darzustellen.
Und komme somit auf [mm] x_{2} [/mm] = - 0,27 und [mm] x_{3} [/mm] = - 3.73
..habe allerdings die dumme Vermutung, dass ich irgendwas falsch gemacht habe..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fertig!
Um die  p/q-Formel anwenden zu können, musst Du die quadratische Gleichung erst in die Normalform [mm] $\red{1}*x^2+p*x+q [/mm] \ = \ 0$ umstellen.
Also bei Deiner Aufgabe vor dem Einsetzen die Gleichung durch 4 dividieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 02.09.2008 | | Autor: | fertig |
Also wäre der weitere Lösungsweg:
4x² + 4x + 1 = 0
x² + x + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = 0
[mm] \bruch{x²}{2} \pm \wurzel{\bruch{x²}{4}-\bruch{1}{4}}
[/mm]
. nur noch mit einem "-" vor dem Ganzen. Und was mache ich jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fertig!
Wie kommt denn da noch das $x_$ bzw. [mm] $x^2$ [/mm] in die Formel? Da gehört jeweils eine $1_$ hin.
Dann kann man auch unter der Wurzel zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 02.09.2008 | | Autor: | fertig |
Achso .. oh, habe etwas verwechselt...demnach löst sich die Wurzel ja ganz auf .. und die zweite Nullstelle liegt bei [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo fertig!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Di 02.09.2008 | | Autor: | fertig |
Dankeschön für die Hilfe.
Grüße,
fertig
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