Polynomdivision < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo , ich habe diese Aufgabe und muss dafür die Nullstellen berechnen :
f(x) = [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + x -2
f(xn) = 0 : 0 = [mm] x_n^{4} [/mm] + [mm] x_n^{3} [/mm] - [mm] x_n^{2} [/mm] + [mm] x_n [/mm] - 2
durch Probieren erste Nullstelle : x_n1 = -2
0 = [mm] (x_n+2)*g(x)
[/mm]
0= [mm] (x_n+2) [/mm] * ( [mm] x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + x -1) -> Das ist die Lösung , die ich mit Hilfe der Polynomdivison rausbekommen habe , ich habe jetzt nicht nochmal den Rechenweg aufgeschrieben , aber das ist richtig , ich habe es ausprobiert.
Und jetzt habe ich halt die Gleichung gelöst und nun ?
Eine Nullstelle habe ich durch Probieren rausbekommen , da in der gelösten Gleichung ein [mm] x^{3} [/mm] auftaucht kann ich nix mit der Lösungsformel anfangen , sonst würde ich es einfach anwenden.
Ich hoffe , ihr könnt mir helfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 So 19.06.2011 | | Autor: | al3pou |
Mach doch einfach nochmal Polynomdivision.
LG
|
|
|
| |
|
Also , ($ [mm] x^{3} [/mm] $ - $ [mm] x^{2} [/mm] $ + x -1 ) : (x+2 ) nochmal ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 So 19.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Also , ([mm] x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] + x -1 ) : (x+2 ) nochmal ?
Nicht ganz. Suche nun eine Nullstelle von x³-x²+x-1
Wenn es eine Ganzzahlige Lösung gibt, bleiben hier als Kandidaten nur die 1 und die -1, da diese ein Teiler des Absolutgliedes -1 sind.
1 tut es hier, also:
(x³-x²+x-1):(x-1)=...
Somit bekommst du insgesamt:
[mm] f(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-2
[/mm]
[mm] =(x+2)(x^{3}-x^{2}+x-1)
[/mm]
[mm] =(x+2)(x-1)(\ldots)
[/mm]
[mm] \ldots [/mm] ist nun ein quadratischer Term.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 So 19.06.2011 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank für die Hilfe !
|
|
|
| |
|
Kurze Frage noch :
$ [mm] =(x+2)(x^{3}-x^{2}+x-1) [/mm] $
$ [mm] =(x+2)(x-1)(\ldots) [/mm] $ [mm] (x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + x - 1 ) , ist das jetzt so richtig ?
Also für die (...) kommt diese Gleichung [mm] (x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + x - 1 ) ?
Oder einfach die beiden hier : [mm] (x+2)(x-1)(\ldots) [/mm] $ multiplzieren ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 19.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Kurze Frage noch :
>
> [mm]=(x+2)(x^{3}-x^{2}+x-1)[/mm]
> [mm]=(x+2)(x-1)(\ldots)[/mm] [mm](x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] + x - 1 ) , ist das
> jetzt so richtig ?
>
> Also für die (...) kommt diese Gleichung [mm](x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] +
> x - 1 ) ?
>
> Oder einfach die beiden hier : [mm](x+2)(x-1)(\ldots)[/mm] $
> multiplzieren ?
Nein, es gilt:
$ [mm] f(x)=\green{x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-2} [/mm] $
[mm] $=\green{(x+2)(x^{3}-x^{2}+x-1)}$
[/mm]
[mm] $=(x+2)\blue{(x^{3}-x^{2}+x-1)}$
[/mm]
[mm] $=(x+2)\blue{(x-1)(\ldots)}$
[/mm]
und da:
[mm] \blue{(x^{3}-x^{2}+x-1)}:(x-1)=x^{2}+1 [/mm] gilt:
f(x)=(x+2)(x-1)(x²+1)
Das ganze nennt man Linearfaktorzerlegung.
Marius
|
|
|
| |
|
> [mm]\blue{(x^{3}-x^{2}+x-1)}:(x-1)=x^{2}+1[/mm] gilt:
>
Wie kommst du denn darauf ? Also auf das Ergebnis ? Ist das jetzt notwendig ? Also hast du das hier : $ [mm] =\green{(x^{3}-x^{2}+x-1)} [/mm] $ einfach ausgeklammert ? Ich verstehe den Ablauf nicht , erst habe ich die Gleichung mit der Polynomdivison gelöst dann habe ich für diese Gleichung eine Nullstelle berechnet , die 1 , und jetzt was ist denn das Ziel ?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 So 19.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
>
> > [mm]\blue{(x^{3}-x^{2}+x-1)}:(x-1)=x^{2}+1[/mm] gilt:
> >
> Wie kommst du denn darauf ? Also auf das Ergebnis ? Ist das
> jetzt notwendig ? Also hast du das hier :
> [mm]=\green{(x^{3}-x^{2}+x-1)}[/mm] einfach ausgeklammert ? Ich
> verstehe den Ablauf nicht , erst habe ich die Gleichung mit
> der Polynomdivison gelöst
Nein, nur umgeformt. Die Polynomdivisoin LÖST keine Gleichungen, sondern formt diese nur um.
> dann habe ich für diese Gleichung eine Nullstelle berechnet , die 1 , > und jetzt was ist denn das Ziel ?
Im Endeffekt will ich f(x) in Linearfaktoren zerlegen, oder zumindest soweit Zerlegen, dass ich in einem Faktor höchstens noch einen quadratischen Term habe.
Denn dann kann man die Nullstellen recht schnel ermitteln:
Mit dem Satz des Nullproduktes reicht es, wenn einer der Faktoren Null wird.
Also folgt aus:
f(x)=(x-1)(x+2)(x²+1)=0
x-1=0 ODER x+2=0 ODER x²+1=0
Marius
|
|
|
| |
|
Ich verstehe leider immernoch nicht wie man auf sowas hier kommt: $ [mm] \blue{(x^{3}-x^{2}+x-1)}:(x-1)=x^{2}+1 [/mm] $
Ist das denn notwendig ? Und wie kommt man überhaupt darauf , muss ich jetzt bei jeder Gleichung wie z.B Gleichung 5.Grades sowas ähnliches hier ( $ [mm] \blue{(x^{3}-x^{2}+x-1)}:(x-1)=x^{2}+1 [/mm] $ ) anwenden ? Das bringt mich ein wenig durcheinander.
Also ich habe mir grad das selbst beigebracht warum man das macht , bisschen googln hilft.
Wenn ich jetzt 0 = (x+2) (x-1) [mm] (x^{2}+1) [/mm] habe , dann ist die erste Nullstelle -2 die zweite 1 und die dritte ? Mit der Lösungsformel kann man das nicht lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 19.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ich verstehe leider immernoch nicht wie man auf sowas hier
> kommt: [mm]\blue{(x^{3}-x^{2}+x-1)}:(x-1)=x^{2}+1[/mm]
Das ist wieder eine Polynomdivision.
>
> Ist das denn notwendig ? Und wie kommt man überhaupt
> darauf , muss ich jetzt bei jeder Gleichung wie z.B
> Gleichung 5.Grades sowas ähnliches hier (
> [mm]\blue{(x^{3}-x^{2}+x-1)}:(x-1)=x^{2}+1[/mm] ) anwenden ? Das
> bringt mich ein wenig durcheinander.
Dann muss ich halt die Polynomdivision mehrfach durchführen, jeder der Divisoren ist nachher einer der Linearfaktoren der Funktion.
>
> Also ich habe mir grad das selbst beigebracht warum man das
> macht , bisschen googln hilft.
>
> Wenn ich jetzt 0 = (x+2) (x-1) [mm](x^{2}+1)[/mm] habe , dann ist
> die erste Nullstelle -2 die zweite 1 und die dritte ? Mit
> der Lösungsformel kann man das nicht lösen.
Hier gibt es dann nur zwei Nullstellen, den Faktor x²+1 kann man nicht "Nullen".
Marius
|
|
|
| |
|
Alles klar vielen Dank !
Noch eine kurze Frage zu einer anderen Gleichung
f(x) = [mm] x^{4}-2x^{3} [/mm] + 2x - 1
die eine Nullstelle ist 1 , also :
[mm] (x^{4}-2x^{3} [/mm] + 2x - 1) : ( x-1) = [mm] x^{3} -x^{2}
[/mm]
[mm] -(x^{4}-x^{3})
[/mm]
------------------------
[mm] -x^{3}+2x
[/mm]
[mm] -(-x^{3}+x^{2}) [/mm] -> Wie soll das gehen ? 2x - [mm] (-x^{2})?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 19.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das Problem ist, dass in f(x) die Zweierpotenz fehlt, füge sie dann einfach hinzu, also +0x².
Dann bekommst du:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 So 19.06.2011 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar vielen Dank , ist mir auch eingefallen und hab auch das gleiche raus , danke auch für den Anhang !
|
|
|
|
