Polynomdivision - Abhängigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | $ [mm] g(x)=x^{3} [/mm] - 6x + m $ zerfällt vollständig in Linearfaktoren. Bestimme m. |
Guten Morgen!
Wieder eine Aufgabe, bei der es gedanklich klemmt.
Ich soll das ganze in Linearfaktoren zerlegen, also Polynomdivision.
Das geht soweit. Wenn ich allerdings Lösungen für m suche erhalte ich eine Abhängigkeit, nämlich $ -m = [mm] x(x^{2} [/mm] - 6) $
Aber das bringt mich bei der Eingrenzung für m nicht weiter, bzw. weiß ich nicht
wie ich jetzt weitermachen soll.
Hätte jemand zufällig einen Zaunpfahlwink für mich?
Grüße,
Melanie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Do 25.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn g vollständig in Linearfaktoren zerfallen soll, gibt es Zahlen [mm] z_1 [/mm] , [mm] z_2 [/mm] und [mm] z_3, [/mm] so dass:
[mm] g(x)=(x-z_{1})(x-z_{2})(x-z_{3})
[/mm]
Multipliziert man aus, ergibt sich:
[mm] $g(x)=x^{3}-z_{1}x^{2}-z_{2}x^{2}-z_{3}x^{2}+z_{1}z_{2}x+z_{2}z_{3}x+z_{1}z_{3}x-z_{1}z_{2}z_{3}$
[/mm]
[mm] $=x^{3}-(z_{1}+z_{2}+z_{3})x^{2}+(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3})x-z_{1}z_{2}z_{3}$
[/mm]
Nun muss gelten:
[mm] -(z_{1}+z_{2}+z_{3})=0
[/mm]
[mm] z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=6
[/mm]
[mm] z_{1}z_{2}z_{3}=m
[/mm]
Marius
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Vielen Dank erstmal natürlich!
Nun darfst du mich gerne blöd nennen, aber auf ein Ergebnis komme ich immernoch nicht. Ich versuche dir mal zu folgen.
> $ [mm] g(x)=(x-z_{1})(x-z_{2})(x-z_{3})$
[/mm]
Okay, das ist mir klar.
> Multipliziert man aus, ergibt sich:
>
> $ [mm] g(x)=x^{3}-z_{1}x^{2}-z_{2}x^{2}-z_{3}x^{2}+z_{1}z_{2}x+z_{2}z_{3}x+z_{1}z_{3}x-z_{1}z_{2}z_{3} [/mm] $
>
> $ [mm] =x^{3}-(z_{1}+z_{2}+z_{3})x^{2}+(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3})x-z_{1}z_{2}z_{3}$
[/mm]
Nach dem Ausmultiplizieren fasst du so zusammen, dass diese Darstellung praktisch der Ausgangsfunktion entspricht?
>
> Nun muss gelten:
>
> $ [mm] -(z_{1}+z_{2}+z_{3})=0 [/mm] $
>
> $ [mm] z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=6 [/mm] $
>
> $ [mm] z_{1}z_{2}z_{3}=m [/mm] $
Und die Bedingungen stammen dann aus dem Vergleich mit der Ausgangsfunktion?
Magst du mir noch einen Tipp geben, wie ich durch die Bedingungen jetzt zum Ergebnis komme?
Ich glaube ich kann dir zwar soweit folgen, aber um das jetzt zu lösen fehlt mir doch eine 4. Bedingung? Wie finde ich die denn?
-Melanie
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Hallo Melanie,
> Nun darfst du mich gerne blöd nennen,
Das tut hier niemand.
> aber auf ein
> Ergebnis komme ich immernoch nicht. Ich versuche dir mal zu
> folgen.
>
> > [mm]g(x)=(x-z_{1})(x-z_{2})(x-z_{3})[/mm]
>
> Okay, das ist mir klar.
>
>
> > Multipliziert man aus, ergibt sich:
> >
> >
> [mm]g(x)=x^{3}-z_{1}x^{2}-z_{2}x^{2}-z_{3}x^{2}+z_{1}z_{2}x+z_{2}z_{3}x+z_{1}z_{3}x-z_{1}z_{2}z_{3}[/mm]
> >
> >
> [mm]=x^{3}-(z_{1}+z_{2}+z_{3})x^{2}+(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3})x-z_{1}z_{2}z_{3}[/mm]
>
> Nach dem Ausmultiplizieren fasst du so zusammen, dass diese
> Darstellung praktisch der Ausgangsfunktion entspricht?
Nein, das ist einfach nach Potenzen von x zusammengefasst.
> > Nun muss gelten:
> >
> > [mm]-(z_{1}+z_{2}+z_{3})=0[/mm]
> >
> > [mm]z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=6[/mm]
> >
> > [mm]z_{1}z_{2}z_{3}=m[/mm]
>
> Und die Bedingungen stammen dann aus dem Vergleich mit der
> Ausgangsfunktion?
Genau, ein Koeffizientenvergleich.
> Magst du mir noch einen Tipp geben, wie ich durch die
> Bedingungen jetzt zum Ergebnis komme?
>
> Ich glaube ich kann dir zwar soweit folgen, aber um das
> jetzt zu lösen fehlt mir doch eine 4. Bedingung? Wie finde
> ich die denn?
Nein, drei Bedingungen reichen normalerweise für die Bestimmung von drei Variablen. Nimm m als fest gegebenen Parameter an.
Verwende z.B. nun die erste Gleichung, um [mm] z_1 [/mm] aus den andern beiden zu eliminieren, indem Du [mm] z_1=-z_2-z_3 [/mm] setzt und das in die zweite und dritte Gleichung einsetzt.
Ich weiß, dass m gesucht ist. Du solltest aus Deiner Lösung für [mm] z_1, z_2, z_3 [/mm] ablesen können, welche Bedingungen für m gelten, damit überhaupt eine Lösung existiert.
Viel Erfolg!
reverend
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Hallo reverend,
erstmal danke für deine Ermutigung. Ich dachte es gäbe irgendeinen Trick, der das Ganze vereinfacht - aber nun gut.
Was ich bisher berechnet habe:
(z1=a ; z2=b ; z3=c)
(1) -(a+b+c)=0
(2) ab+ac+bc=6
(3) abc=m
aus (1) a=-(b+c)
(1) in (2)=>(4)
(4) $ [mm] -b^{2}-bc-c^{2}=6 [/mm] $
(1) in (3)=>(5)
(5)$ -b(b+c)+c=k $
$ [mm] -b^{2}c [/mm] - [mm] bc^{2}=k [/mm] $
aus (4) folgt:
(7) $ [mm] -b^{2}=6+bc+c^{2} [/mm] $
(8) $ [mm] c^{2}=-b^{2}-bc-6 [/mm] $
Setzt man nun (7) oder (8) in (5) ein folgt daraus
$ [mm] c(c^{2}+6)=k [/mm] $ und $ [mm] b(b^{2}+6)=k [/mm] $
Oh jeh, macht das denn überhaupt noch Sinn?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Was ich bisher berechnet habe:
>
> (z1=a ; z2=b ; z3=c)
>
> (1) -(a+b+c)=0
> (2) ab+ac+bc=6
> (3) abc=m
>
> aus (1) a=-(b+c)
>
> (1) in (2)=>(4)
>
> (4) [mm]-b^{2}-bc-c^{2}=6[/mm]
>
>
> (1) in (3)=>(5)
>
> (5)[mm] -b(b+c)\red{+}c=k[/mm]
> [mm]-b^{2}c - bc^{2}=k[/mm]#
(Anstelle des rot markierten + müsste * stehen, aber das war sicher nur ein Tippfehler.)
>
>
> aus (4) folgt:
> (7) [mm]-b^{2}=6+bc+c^{2}[/mm]
> (8) [mm]c^{2}=-b^{2}-bc-6[/mm]
>
> Setzt man nun (7) oder (8) in (5) ein folgt daraus
> [mm]c(c^{2}+6)=k[/mm] und [mm]b(b^{2}+6)=k[/mm]
Aus dem m ist zwischenzeitlich ein k geworden... 
Ansonsten stimmen alle Folgerungen.
> Oh jeh, macht das denn überhaupt noch Sinn?
Ich würde dir grundsätzlich empfehlen, bei Gleichungssystemen nach Möglichkeit nicht wild herumzufolgern, sondern nur Äquivalenzumformungen vorzunehmen. Dann muss man eben öfter mal Gleichungen doppelt aufschreiben, aber behält dafür den Überblick.
Ich sehe gerade, dass es in Gleichung (2) -6 anstelle von 6 heißen muss. Darauf basierte auch meine Fehleinschätzung, dass es kein m mit der gewünschten Eigenschaft gebe. Sorry für die Verwirrung!
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Mh, meine Idee war, die Ausgangsfunktion mit den Linearfaktoren (x-z1) (x-z2) (x-z3) gleichzusetzen, unter den drei Bedingungen.
Aber zielführend ist das wohl nicht?
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Hallo Melanie,
> Mh, meine Idee war, die Ausgangsfunktion mit den
> Linearfaktoren (x-z1) (x-z2) (x-z3) gleichzusetzen, unter
> den drei Bedingungen.
>
> Aber zielführend ist das wohl nicht?
Doch. Du hast drei Variablen zu bestimmen: [mm] z_1, z_2, z_3
[/mm]
- und Du hast drei Gleichungen. Wenn die voneinander unabhängig sind, sollte das doch reichen.
Was hast Du denn dann weitergerechnet?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
EDIT: Das war Blödsinn von mir.
Hallo notamused,
bist du sicher, dass die Aufgabenstellung genau so lauten soll?
Ich komme nämlich zu dem Ergebnis, dass für kein [mm] $m\in\IR$ [/mm] das Polynom g in Linearfaktoren zerfällt.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobi,
eigentlich sind es zwei Aufgaben dieser Art.
Die eine lautet genau so und die zweite:
[mm] f(x)=x^{3}-3x+m
[/mm]
Sieht es bei der vielleicht besser aus?
-Melanie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
EDIT: Diese Antwort setzt nur obigen Fehler meinerseits fort.
> eigentlich sind es zwei Aufgaben dieser Art.
> Die eine lautet genau so und die zweite:
>
> [mm]f(x)=x^{3}-3x+m[/mm]
Nein, da tritt leider das gleiche Problem auf.
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> > eigentlich sind es zwei Aufgaben dieser Art.
> > Die eine lautet genau so und die zweite:
> >
> > [mm]f(x)=x^{3}-3x+m[/mm]
> Nein, da tritt leider das gleiche Problem auf.
Okay, dann muss ein Fehler in der Aufgabe vorliegen oder es ist gewollt, dass das "Problem" nachgewiesen wird. Mhm.
Ach so, m [mm] $\in \IR [/mm] $
Wie finde ich denn die "Fehlerstelle"? Damit ich nachweisen kann, dass es eben kein m gibt, für dass die Funktion in Linearfaktoren zerfällt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Sorry, ich habe einen Vorzeichenfehler aus dem Thread fortgeführt und kam damit fälschlicherweise zu dem Schluss, dass kein m von der gewünschten Gestalt existiert! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Do 25.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Tobias,
> bist du sicher, dass die Aufgabenstellung genau so lauten
> soll?
>
> Ich komme nämlich zu dem Ergebnis, dass für kein [mm]m\in\IR[/mm]
> das Polynom g in Linearfaktoren zerfällt.
Für m=5 ist x=1 eine Nullstelle, die beiden andern kann man ja leicht berechnen. [mm] x^3-6x+5 [/mm] hat also drei Linearfaktoren.
Niemand hat verlangt, dass [mm] z_1, z_2, z_3 [/mm] ganzzahlig sein müssen.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
bei [mm] f_m(x)=x^3-6x+m [/mm] handelt es sich um eine Funktionenschar, bei der die Funktionsgraphen nur in y-Richtung verschoben werden.
Untersuchen wir also erst einmal einen einzelnen Repräsentanten der Schar, z.B. [mm] f_0(x)=x^3-6x.
[/mm]
Nullstellen sind hier [mm] $-\wurzel{6}, [/mm] 0$ und [mm] +\wurzel{6}, [/mm] aber die interessieren gerade noch nicht.
[mm] f_0'(x)=3x^2-6
[/mm]
Nullstellen der ersten Ableitung sind [mm] -\wurzel{2} [/mm] und [mm] +\wurzel{2}.
[/mm]
[mm] f_0''(x)=6x
[/mm]
Nullstelle ist hier x=0. Die dritte Ableitung an dieser Stelle ist +6.
Es gibt also einen Wendepunkt bei x=0, ein Maximum bei [mm] x=-\wurzel{2} [/mm] und ein Minimum bei [mm] x=\wurzel{2}.
[/mm]
Das einzige, was jetzt aber interessant ist, sind die Funktionswerte von Maximum und Minimum.
Das Maximum liegt bei [mm] (-\wurzel{2},4\wurzel{2}), [/mm] das Minimum bei [mm] (\wurzel{2},-4\wurzel{2}).
[/mm]
Daraus folgt nun, dass eine Zerlegung von [mm] f_m(x) [/mm] in Linearfaktoren möglich ist für [mm] -4\wurzel{2}
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
danke - auf den Ansatz wäre ich nicht gekommen.
Eine Frage dazu: Warum folgt denn aus den Extremwerten der Bereich der Nullstelle? Wie hängt das denn zusammen?
Und kann man mit dem ersten Ansatz auch auf diesen Bereich kommen?
Ich versuche gerade das zur Übung auch nochmal so zu rechnen...
-Melanie
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Hallo Melanie,
> danke - auf den Ansatz wäre ich nicht gekommen.
>
> Eine Frage dazu: Warum folgt denn aus den Extremwerten der
> Bereich der Nullstelle? Wie hängt das denn zusammen?
Nicht der Bereich der Nullstelle, sondern der Bereich für m.
Lass Dir mal den Graphen für verschiedene m plotten. Er wird (logischerweise) dabei nur nach oben und unten verschoben, die "Form" bleibt gleich.
Damit die Funktion [mm] f_m(x) [/mm] aber vollständig linear zerlegbar ist, muss es mindestens zwei Nullstellen geben. Ich war zuvor von drei ausgegangen, das ist aber falsch. Es dürfen ja durchaus zwei Nullstellen gleich sein (anders gesagt: es darf eine doppelte Nullstelle vorkommen). Die kleiner- und größer-Zeichen müssen daher noch um den Äquivalenzstrich ergänzt werden:
[mm] -4\wurzel{2}\le m\le 4\wurzel{2}.
[/mm]
Liegt m außerhalb dieses Bereichs, so gibt es nur eine reelle Nullstelle. Dann zerfällt [mm] f_m(x) [/mm] nur in einen linearen und einen quadratischen Faktor (jedenfalls in [mm] $\IR$).
[/mm]
> Und kann man mit dem ersten Ansatz auch auf diesen Bereich
> kommen?
Man kann, aber das ist wirklich eine mühsame Rechnung. Am Anfang dachte ich noch, dass es wirklich nur einen m-Wert gäbe, aber seit mir klar ist, dass es sich um ein Intervall handelt, würde ich den expliziten Lösungsansatz (mit Angabe der Nullstellen) nicht weiterverfolgen. Da rechnet man sich einen Wolf, weil man letztlich eine (schon reduzierte) Gleichung dritten Grades auflösen muss - Stichwort: ![[]](/images/popup.gif) Cardanische Formeln. Das ist wirklich mühsam.
> Ich versuche gerade das zur Übung auch nochmal so zu
> rechnen...
Wenn Du Dir das Wochenende versauen willst, mach damit weiter.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Fr 26.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin rev,
> bei [mm]f_m(x)=x^3-6x+m[/mm] handelt es sich um eine
> Funktionenschar, bei der die Funktionsgraphen nur in
> y-Richtung verschoben werden.
>
> Untersuchen wir also erst einmal einen einzelnen
> Repräsentanten der Schar, z.B. [mm]f_0(x)=x^3-6x.[/mm]
>
> Nullstellen sind hier [mm]-\wurzel{6}, 0[/mm] und [mm]+\wurzel{6},[/mm] aber
> die interessieren gerade noch nicht.
>
> [mm]f_0'(x)=3x^2-6[/mm]
> Nullstellen der ersten Ableitung sind [mm]-\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]+\wurzel{2}.[/mm]
>
> [mm]f_0''(x)=6x[/mm]
> Nullstelle ist hier x=0. Die dritte Ableitung an dieser
> Stelle ist +6.
>
> Es gibt also einen Wendepunkt bei x=0, ein Maximum bei
> [mm]x=-\wurzel{2}[/mm] und ein Minimum bei [mm]x=\wurzel{2}.[/mm]
>
> Das einzige, was jetzt aber interessant ist, sind die
> Funktionswerte von Maximum und Minimum.
> Das Maximum liegt bei [mm](-\wurzel{2},4\wurzel{2}),[/mm] das
> Minimum bei [mm](\wurzel{2},-4\wurzel{2}).[/mm]
man kann das ganze auch gleich fuer beliebiges $m$ machen 
> Daraus folgt nun, dass eine Zerlegung von [mm]f_m(x)[/mm] in
> Linearfaktoren möglich ist für
> [mm]-4\wurzel{2}
> einfache Nullstellen.
Das stimmt nicht ganz: fuer $m = [mm] \pm [/mm] 4 [mm] \sqrt{2}$ [/mm] gibt es zwar jeweils eine doppelte Nullstelle neben einer einfachen, aber das Polynom zerfaellt trotzdem in Linearfaktoren (die nicht paarweise verschieden sind).
Fuer $m < -4 [mm] \srqt{2}$ [/mm] oder $m > 4 [mm] \sqrt{2}$ [/mm] jedoch gibt es nur genau eine reelle Nullstelle und somit faktorisiert das Polynom als $(x - [mm] \lambda) \cdot (x^2 [/mm] + a x + b)$, wobei [mm] $x^2 [/mm] + a x + b$ keine Nullstellen in [mm] $\IR$ [/mm] hat.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Fr 26.10.2012 | | Autor: | reverend |
Moin Felix!
> > Das einzige, was jetzt aber interessant ist, sind die
> > Funktionswerte von Maximum und Minimum.
> > Das Maximum liegt bei [mm](-\wurzel{2},4\wurzel{2}),[/mm] das
> > Minimum bei [mm](\wurzel{2},-4\wurzel{2}).[/mm]
>
> man kann das ganze auch gleich fuer beliebiges [mm]m[/mm] machen
>
Würde das nicht zuviel Arbeit sparen?
> > Daraus folgt nun, dass eine Zerlegung von [mm]f_m(x)[/mm] in
> > Linearfaktoren möglich ist für
> > [mm]-4\wurzel{2}
> > einfache Nullstellen.
>
> Das stimmt nicht ganz: fuer [mm]m = \pm 4 \sqrt{2}[/mm] gibt es zwar
> jeweils eine doppelte Nullstelle neben einer einfachen,
> aber das Polynom zerfaellt trotzdem in Linearfaktoren (die
> nicht paarweise verschieden sind).
>
> Fuer [mm]m < -4 \srqt{2}[/mm] oder [mm]m > 4 \sqrt{2}[/mm] jedoch gibt es nur
> genau eine reelle Nullstelle und somit faktorisiert das
> Polynom als [mm](x - \lambda) \cdot (x^2 + a x + b)[/mm], wobei [mm]x^2 + a x + b[/mm]
> keine Nullstellen in [mm]\IR[/mm] hat.
Zu dieser Einsicht war ich zwischendurch auch noch gekommen, wie ich vorhin schrieb. Es handelte sich also nur um eine temporäre Blindheit etwa wie in Apostelgeschichte 9,8-9, wenngleich diese angeblich drei Tage dauerte, die meine aber erheblich weniger.
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 26.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]g(x)=x^{3} - 6x + m[/mm] zerfällt vollständig in
> Linearfaktoren. Bestimme m.
Eine Frage: ueber welchem Koerper/Ring soll das ganze betrachtet werden?
Ueber [mm] $\IC$ [/mm] zerfaellt $g$ mit jedem $m [mm] \in \IC$ [/mm] in Linearfaktoren. Das ist also nicht gemeint.
Ist vielleicht [mm] $\IR$ [/mm] gemeint? Oder [mm] $\IQ$? [/mm] Oder [mm] $\IZ$?
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Fr 26.10.2012 | | Autor: | notamused |
Hallo Felix,
ja, es ist $ [mm] \IR [/mm] $ gemeint.
Das hatte ich in einem spätern Post noch daz gesagt, entschuldige...
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