Polynomdivision, Beweis < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:50 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Phoeby |
Hallo liebe Mathematikbegeisterte... 
Hab da eine Frage zum Beweis der "Existenz" der polynomdivision mit Rest.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sei K ein kommutativer Ring und sei g normiertes Polynom ("unitary polynomial") mit einer Unbestimmten mit Koeffizienten aus K.
Für jedes Polynom f Element K[X] gibt es Polynome q,r Elem. K[X] so, dass f=gq+r, d°(r)<d°(g), und dass q und r eindeutig bestimmt.
Ich hab jetzt schon gezeigt, dass es mindestens ein q und r so geben muss.
Und beim Beweis, dass es höchstens ein q und r so geben kann sagt mein schlaues Buch
f = gq'+r' = gq''+r'' mit d°(r')<d°(g) und d°(r'')<d°(g) (*)
folgt g(q'-q'')=r''-r'
also genügt zu zeigen dass q'=q''
wegen (*) gilt: d°(r''-r')<d°(g)
Und q'=q'' folgt aus dem Lemma:
Sei g normiertes Polynom (unitary polynomial) und q kein Nullpolynom.
Dann:
d°(gq) = d°(g) + d°(q) >= d°(g)
(>= soll größer/gleich heißen)
Und ich frag mich, wieso aus dem Lemma folgt, dass q'=q''?????
Lange Rede, kurze Frage. Ich wäre für eine Antwort sehr dankbar!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:05 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Phoebs!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hab da eine Frage zum Beweis der "Existenz" der
> polynomdivision mit Rest.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Sei K ein kommutativer Ring und sei g invertierbares
> Polynom mit einer unbestimmten mit Koeffizienten aus K.
> Für jedes Polynom f Element K[X] gibt es Polynome q,r
> Elem. K[X] so, dass f=gq+r, d°(r)<d°(g), und dass q und r
> eindeutig bestimmt.
>
> Ich hab jetzt schon gezeigt, dass es mindestens ein q und r
> so geben muss.
> Und beim Beweis, dass es höchstens ein q und r so geben
> kann sagt mein schlaues Buch
> f = gq'+r' = gq''+r'' mit d°(r')<d°(g) und
> d°(r'')<d°(g) (*)
>
> folgt g(q'-q'')=r''-r'
>
> also genügt zu zeigen dass q'=q''
>
> wegen (*) gilt: d°(r''-r')<d°(g)
>
> Und q'=q'' folgt aus dem Lemma:
>
> Sei g normiertes Polynom (unitary polynomial) und q kein
> Nullpolynom.
> Dann:
> d°(gq) = d°(g) + d°(q) >= d°(g)
>
> (>= soll größer/gleich heißen)
>
>
> Und ich frag mich, wieso aus dem Lemma folgt, dass
> q'=q''?????
Ich habe den Beweis nun nicht detailiert verfolgt, aber da steht doch der Widerspruch:
g(q'-q'')=r''-r'
=> d°(g(q'-q'')) = d°(r''-r')
=> d°(g) <= d°(g(q'-q'')) = d°(r''-r') < d°(g)
Die erste Ungleichung ist gerade das Lemme, angewendet auf g(q'-q''), die zweite Ungleichung ist die Folgerung aus (*), siehe oben.
=> d°(g) < d°(g)
Ich hoffe, das hilft dir schon weiter.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:26 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Phoeby |
vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
nee, da darf sich eigentlich garnix widersprechen.
in dem Theorem
> > Sei K ein kommutativer Ring und sei g invertierbares
> > Polynom mit einer unbestimmten mit Koeffizienten aus K.
> > Für jedes Polynom f Element K[X] gibt es Polynome q,r
> > Elem. K[X] so, dass f=gq+r, d°(r)<d°(g), und dass q und r
> > eindeutig bestimmt
gilt (bzw soll gelten)
f = gq + r mit d°(r) < d°(g)
also wenn man f durch g teilt, erhält man q und einen Rest r, wobei der Grad des Polynoms r kleiner dem von g ist. logisch.
und ich muss zeigen, dass es maximal ein q und ein r so gibt.
> > f = gq'+r' = gq''+r'' mit d°(r')<d°(g) und
> > d°(r'')<d°(g) (*)
> >
> > folgt g(q'-q'')=r''-r'
> >
> > also genügt zu zeigen dass q'=q''
> >
> > wegen (*) gilt: d°(r''-r')<d°(g)
> >
> > Und q'=q'' folgt aus dem Lemma:
> >
> > Sei g normiertes Polynom (unitary polynomial) und q kein
> > Nullpolynom.
> > Dann:
> > d°(gq) = d°(g) + d°(q) >= d°(g)
> >
> > (>= soll größer/gleich heißen)
> >
> >
> > Und ich frag mich, wieso aus dem Lemma folgt, dass
> > q'=q''?????
Du schreibst:
> g(q'-q'')=r''-r'
>
> => d°(g(q'-q'')) = d°(r''-r')
irgendwie denk ich auch, dass das folgen müsste, aber is das sicher? dann müsste aber d°(q'-q'')<0 sein, weil ja d°(g)>d°(r''-r')
->???
und die Hauptfrage ist, wieso folgt aus dem Lemma dass q'=q''?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:35 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Phoeby,
> vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
>
> nee, da darf sich eigentlich garnix widersprechen.
Doch, ich widerpsreche zum zweiten Mal
> in dem Theorem
> > > Sei K ein kommutativer Ring und sei g invertierbares
> > > Polynom mit einer unbestimmten mit Koeffizienten aus K.
> > > Für jedes Polynom f Element K[X] gibt es Polynome
> q,r
> > > Elem. K[X] so, dass f=gq+r, d°(r)<d°(g), und dass q und r
> > > eindeutig bestimmt
>
> gilt (bzw soll gelten)
> f = gq + r mit d°(r) < d°(g)
> also wenn man f durch g teilt, erhält man q und einen Rest
> r, wobei der Grad des Polynoms r kleiner dem von g ist.
> logisch.
> und ich muss zeigen, dass es maximal ein q und ein r so
> gibt.
>
> > > f = gq'+r' = gq''+r'' mit d°(r')<d°(g) und
> > > d°(r'')<d°(g) (*)
> > >
> > > folgt g(q'-q'')=r''-r'
> > >
> > > also genügt zu zeigen dass q'=q''
> > >
> > > wegen (*) gilt: d°(r''-r')<d°(g)
> > >
> > > Und q'=q'' folgt aus dem Lemma:
> > >
> > > Sei g normiertes Polynom (unitary polynomial) und q kein
> > > Nullpolynom.
> > > Dann:
> > > d°(gq) = d°(g) + d°(q) >= d°(g)
> > >
> > > (>= soll größer/gleich heißen)
> > >
> > >
> > > Und ich frag mich, wieso aus dem Lemma folgt, dass
> > > q'=q''?????
>
> Du schreibst:
> > g(q'-q'')=r''-r'
> >
> > => d°(g(q'-q'')) = d°(r''-r')
> irgendwie denk ich auch, dass das folgen müsste, aber is
> das sicher?
Doch das ist sicher, da g(q'-q'')=r''-r' doch bedeutet, dass es sich um dasselbe Polynome handelt. Also müssen auch die Grade übereinstimmen.
> dann müsste aber d°(q'-q'')<0 sein, weil ja
> d°(g)>d°(r''-r')
> ->???
>
> und die Hauptfrage ist, wieso folgt aus dem Lemma dass
> q'=q''?
Das Lemma gilt ja nur, falls das q kein Nullpolynom ist.
Also wurde angenommen, dass q:=q'-q'' kein Nullpolynom ist, dann folgt aus der Anwendung des Lemmas der in meiner vorherigen Antwort gezeigte Widerspruch. Also ist q'-q''=0.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:49 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Phoeby |
ach sooo, na sag's doch gleich ;o)
(irgendwie war klar es kann nur was ganz kleines logisches sein, aber ich kam grad einfach net drauf... wie is das mit den "women who are tired"?!? )
wenn ich gleich nochwas fragen dürfte:
hast Du zufällig auch eine Ahnung, was "unitary polynomial" genau übersetzt heißt? normiertes Polynom?? Einheits-polynom??
Jedenfalls ist dessen Haufkoeffizient immer "a unit"... also immer eins?!
Vielen vielen Dank jedenfalls schonmal...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:11 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Phoeby,
> ach sooo, na sag's doch gleich ;o)
> (irgendwie war klar es kann nur was ganz kleines logisches
> sein, aber ich kam grad einfach net drauf... wie is das mit
> den "women who are tired"?!? )
... or rested -- macht also keinen Unterschied
> wenn ich gleich nochwas fragen dürfte:
> hast Du zufällig auch eine Ahnung, was "unitary
> polynomial" genau übersetzt heißt? normiertes Polynom??
> Einheits-polynom??
> Jedenfalls ist dessen Haufkoeffizient immer "a unit"...
> also immer eins?!
Ja, so würde ich das auch übersetzen.
Ein normiertes Polynom ist jedenfalls eines, dessen "höchster" Koeffizient [mm] $b_m=1$ [/mm] ist: [mm] $g=1*x^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots$
[/mm]
Dass g in dem Beweis normiert ist, erspart einem etwas Schreibarbeit, ist aber keine Einschränkung der Allgemeinheit, da man andernfalls einfach die Polynome [mm] $f/b_m$ [/mm] und [mm] $g/b_m$ [/mm] betrachtet.
Viele Grüße an Joey,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:26 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Phoeby |
vielen vielen Dank!
Du bist der Held der Nacht! :o)
Gute Nacht!
*phoeby*
welche Joey?
Ich kenn nur Joey Potter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:50 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Phoeby,
> welche Joey?
> Ich kenn nur Joey Potter
oh, die würde ich auch gerne kennen, aber sie muss erst noch ihre Verirrung mit Jerry Maguire durchstehen...
Ich meinte aber Joey Tribbiani, weil ich dachte, du wärst Phoebe Buffay...
Gute Nacht,
Marc
|
|
|
|
