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| Aufgabe | a, b und c seien fest vorgegebene reelle Zahlen.
Beweisen Sie, dass es mindestens ein n [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass gilt
[mm] (x^{3} [/mm] + [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c) : (x - n) = [mm] (x^{2} [/mm] + gx + h) mit g,h [mm] \in \IR [/mm] |
Rein rechnerisch kommt bei mir da nichts Sinnvolles raus.
Höchstens, dass ...
a = g - n und b = h - gn und c = -nh
Das kann man dann natürlich auch alles nach n auflösen, aber da dreht man sich letztendlich im Kreis.
Warum solte es mindestens ein n geben, bei dem die drei Gleichungen hinhauen?
Jetzt sehe ich nur noch einen Ausweg:
Wenn man vom Südpol zum Nordpol will, dann muss man doch mindestens ein Mal den Äquator überqueren. Richtig? Richtig!
Für x gegen Minus [mm] \infty [/mm] geht [mm] x^{3} [/mm] + [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c gegen Minus [mm] \infty [/mm]
(das entspricht dem Südpol)
Für x gegen Plus [mm] \infty [/mm] geht [mm] x^{3} [/mm] + [mm] ax^{2} [/mm] + bx + c gegen Plus [mm] \infty [/mm]
(das entspricht dem Nordpol)
Und das n entspricht genau der Stelle, wo der Aquätor überquert wird. Ohne eine solche Stelle kommt man doch gar nicht vom Südpol zum Nordpol.
Was soll man da noch großartig "beweisen"?
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Hallo rabilein!
Der o.g. Satz sagt ja lediglich aus, dass jede ganzrationale Funktion der Form $p(x) \ = \ [mm] x^3+a*x^2+b*x+c$ [/mm] mindestens 1 reelle Nullstelle besitzt.
Mit den Grenzwerten für [mm] $\limes_{x\rightarrow\pm\infty}p(x)$ [/mm] sowie Anwendung des Zwischenwertsatzes ist das auch schnell bewiesen.
Gruß vom
Roadrunner
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