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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 So 12.03.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe 1 | O sei die Menge aller polynome p(z) in der komplexen Variablen z.
Zeigen Sie, dass O bezüglich der Addition (p+q)(z)=p(z)+q(z) und der Multiplikation mit einer komplexen Zahl [mm] (\alpha\*p)(z)=\alpha\*p(z) [/mm] einen komplexen Vektorraum bildet. |
| Aufgabe 2 | O sei die Menge aller polynome p(z) in der komplexen Variablen z vom grad [mm] deg(p(z))\gen.
[/mm]
Ist die Abbildung [mm] D_{k}:O_{n}\toO_{n} [/mm] gegeben duch
[mm] (D_{k}p)(z)=\bruch{d^{k}p(z)}{dz^{k}} [/mm] k=1,2,...,n+1
linear, surjektiv, injektiv? |
| Aufgabe 3 | O sei die Menge aller polynome p(z) in der komplexen Variablen z vom grad [mm] deg(p(z))\gen.
[/mm]
Zeigen Sie, dass das System [mm] {1,z,...,z^{n}} [/mm] eine Basis in O bildet. Stellen sie diese Abbildung als Matrix dar. |
| Aufgabe 4 | | Bestimmen sie Eigenwerte und Eigenräume der in 3. bestimmten Abbildung und transformieren sie die entsprechende Matrix in die Jordansche Normalform. |
Meine Ansätze bisher:
1:
Ich muss doch Assoziativität, Kommutativität, neutrales, inverses Element,usw. nachweisen?
Reicht das aus und wie sieht das ansatzweise aus?
2:
Sowas ist mir leider noch nie untergekommen. Da bräuchte ich echt ne hilfe was ansatz und lösung angeht. Was linear, surjektiv und injektiv bedeuten ist mir klar, aber wie überprüfe ich das nun?
3:
Ich muss wohl zeigen, dass das System vollständig wie auch unabhängig ist? Über einen tipp, wie ich das anfange würde ich mich trotzdem freuen...
4:
Das kann ich ja wohl erst in Angriff nehmen, wenn ich die Abbildung habe.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo und guten Morgen,
fangen wir doch direkt mal an:
zu A1:
Genau das musst Du tun, wobei zB das Neutrale Element das Null-Polynom p(x):=0 fuer alles x ist.
Die Rechenregeln fuer Polynome gelten, da sie fuer den zugrundeliegenden Ring gelten, also hier fuer den Koerper [mm] \IC.
[/mm]
Zu A2:
Scheinbar sind da ein paar Schreibfehler in die Aufgabenstellung geraten. Raten wir mal, was gemeint sein könnte:
[mm] O_n [/mm] sei der Ring der Polynome [mm] p(z)\in\IC[x] [/mm] vom Grad n. Dann ist
[mm] D_k\colon O_n\to O_{n-k} [/mm] (fuer [mm] n\geq [/mm] k)
mit [mm] (D_k(p))(z):=\frac{d^kp(z)}{dz^k}
[/mm]
Frage: Ist [mm] D_k\colon O_n\to O_{n-k}
[/mm]
injektiv, surjektiv, linear ?
Antwort: Linear ja, da ja die Ableitung eine lineare Abb ist, Du kannst zB auch [mm] D_k [/mm] geschlossen hinschreiben:
fuer [mm] p(z)=\sum_{i=0}^na_i\cdot z^i [/mm] gilt
[mm] D_k(p)\:\: =\:\: \sum_{i=k}^n a_i\cdot \frac{i!}{(i-k)!}\cdot z^{i-k}
[/mm]
und da siehst Du die Linearitaet sofort.
Weiterhin siehst Du: [mm] D_k [/mm] ist nicht injektiv, zB gilt fuer
[mm] p(z)=z^n+1 [/mm] und [mm] q(n):=z^n+2 [/mm] sicherlich [mm] p\neq [/mm] q, aber [mm] D_k(p)=D_k(q).
[/mm]
Surjektiv ist es aber: zu gegebenem [mm] p\in O_{n-k} [/mm] mit
[mm] p(z)=\sum_{i=0}^{n-k}a_iz^i
[/mm]
gilt
[mm] D_k(q)=p [/mm] mit
[mm] q(z)=\sum_{i=0}^{n-k} \frac{a_i}{\prod_{j=i+1}^{i+k}j}\cdot z^{i+k}
[/mm]
Zu 3: Die Aufgabe lautet sicherlich, zu zeigen, dass [mm] 1,z,\ldots z^n [/mm] eine Basis von [mm] O_n [/mm] bilden.
Dass diese Polynome den [mm] O_n [/mm] linear erzeugen (aufspannen), siehst Du, wenn Du ein bel. [mm] p\in O_n [/mm] in Koeffizientenschreibweise
betrachtest: Das ist ja nix anderes als wie eine Linearkombination der Polynome [mm] 1,z,\ldots z^n.
[/mm]
Dass sie linear unabh. sind, kannst Du auch direkt nachweisen: Nimm an nicht, dann fuehre es zu einem Widerspruch.
Weiterhin liefert Dir eigentlich die Loesung zu A1, insbesondere die oben stehende explizite Formel fuer [mm] D_k [/mm] eine Darst. von [mm] D_k [/mm]
bezueglich dieser Basis.
Zu 4: Verusch erstmal, Eigenwerte zu bestimmen. Kann [mm] D_k [/mm] einen von 0 verschiedenen Eigenwert haben ?
Viel Erfolg und
viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 13.03.2006 | | Autor: | papillon |
Zu 2. :
Könntest du mir den Beweis für die linearität noch ein wenig erläutern? Da weiß ich nicht so genau, wie du auf diese gleichung kommst, d.h. ich sehe die Linearität nicht.
Ähnlich geht das mir mit der Surjektivität und der Injektivität, wenn du das ein wenig erläutern könntest, dann komme ich wieder ein stück weiter.
Danke schon mal für die echt geniale Hilfe!
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Hallo nochmal,
also es seien p(z), [mm] q(z)\in O_n [/mm] mit
[mm] p(z)=\sum_{i=0}^np_i\cdot z^i,\;\: q(z)=\sum_{i=0}^nq_i\cdot z^i [/mm]
und [mm] \lambda\in\IC, [/mm] dann ist
[mm] \lambda (p+q)=\lambda\cdot [/mm] p [mm] +\lambda\cdot [/mm] q,
denn fuer alles [mm] z\in\IC [/mm] gilt
[mm] \lambda (p(z)+q(z))=\lambda\cdpt p(z)=\lambda\cdot [/mm] q(z)
(klar soweit ?).
In diesem Stil zeigt man, dass [mm] O_n [/mm] und O [mm] \IC-Vektorräume [/mm] sind.
Zu Injektivitaet/Surjektivitaet:
Die Abb. ist nicht injektiv, bilde die k-ten Abl. der beiden Polynome, die ich als gegenbeispiel
genannt hatte, dann siehst Du es.
Zur Surjektivitaet hatte ich ein beliebiges Polynom p(z) vom Grade hoechstens n-k betrachtet und dann dazu ein Polynom q(z)
vom Grade hoechstens n angegeben, dessen k-te Ableitung gleich p(z) ist.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 13.03.2006 | | Autor: | papillon |
Ja, ich glaube du hast recht. Die aufgabe wurde schon so gestellt.
Also ist die Abbildung
- linear, der beweis ist eine folge der linearität der ableitung, richtig?
- nicht surjektiv. Wie beweise ich das? Was ein Endomorphismus ist, weiß ich leider nicht.
- nicht injektiv, da ich zB die genannten Polynome als gegenbeispiel anführen kann.
Zu 3.:
Ich weiß nicht, wie ich die Matrix der abbildung erhalten kann. ich habe das hier gefunden, was mir auch einleuchtet, aber es ist ja dann nur die matrix für die erste ableitung. Außerdem ist diese nicht quadratisch, und ich kann doch nur für quadratische matrizen die eigenwerte bestimmen.
http://www.moses.tu-berlin.de/Mathematik/LineareAlgebra/Themenseitensourcen/Matrixdarstellung/index.html
Das es sich um eine basis handelt, habe ich bewiesen, indem ich gesagt habe, dass jedes polynom mit den basisvektoren dargestellt werden kann(vollständigkeit), und das sie linear unabhängig sind (keine funktion kann als linearkombination der übrigen dargestellt werden.)
Ich hoffe, Ihr könnt mir nochmal weiterhelfen! Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Sa 18.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Also ist die Abbildung
>
> - linear, der beweis ist eine folge der linearität der
> ableitung, richtig?
Genau.
> - nicht surjektiv. Wie beweise ich das? Was ein
> Endomorphismus ist, weiß ich leider nicht.
Ein Endomorphismus ist eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in sich selbst. [mm] $D_k [/mm] : [mm] O_n \to O_n$ [/mm] ist also einer.
Zur Surjektivitaet: Ueberleg doch mal, kann ein Polynom von Grad $n$ die $k$-te Ableitung eines anderen Polynoms vom Grad hoechstens $n$ sein? Dazu kannst du etwa zeigen, dass der Grad der Ableitung immer um mindestens eins kleiner wird, oder generell kleiner als $n$ ist wenn der Grad des Polynoms vorher hoechstens $n$ war.
> - nicht injektiv, da ich zB die genannten Polynome als
> gegenbeispiel anführen kann.
Ja. Wobei es ja reicht, ein Polynom [mm] $\neq [/mm] 0$ anzugeben, dessen Ableitung $= 0$ ist.
> Zu 3.:
>
> Ich weiß nicht, wie ich die Matrix der abbildung erhalten
> kann. ich habe das hier gefunden, was mir auch einleuchtet,
> aber es ist ja dann nur die matrix für die erste ableitung.
> Außerdem ist diese nicht quadratisch, und ich kann doch nur
> für quadratische matrizen die eigenwerte bestimmen.
Du hast eine Basis. Also wende [mm] $D_k$ [/mm] auf die Basisvektoren an, und stelle die Ergebnisse wieder durch die Basisvektoren da. Das liefert gerade die Matrizdarstellung!
Und wenn [mm] $D_k [/mm] : [mm] O_n \to O_n$ [/mm] geht, ist die Matrix sehr wohl quadratisch (vom Format $(n+1) [mm] \times [/mm] (n+1)$).
> http://www.moses.tu-berlin.de/Mathematik/LineareAlgebra/Themenseitensourcen/Matrixdarstellung/index.html
>
>
> Das es sich um eine basis handelt, habe ich bewiesen, indem
> ich gesagt habe, dass jedes polynom mit den basisvektoren
> dargestellt werden kann(vollständigkeit), und das sie
> linear unabhängig sind (keine funktion kann als
> linearkombination der übrigen dargestellt werden.)
Genau.
> Ich hoffe, Ihr könnt mir nochmal weiterhelfen! Vielen Dank!
Hat dir das hier weitergeholfen?
LG Felix
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(Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation und Addition fehlt.)
