Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper.
ERINNERUNG: Ein Polynom $\sum_{i=0}^n{c_ix^i}$ mit $c_i\in K$ ist gleich null, wenn $c_i=0$ für alle $c\leq i \leq n$.
i) Sei $f\in K[x]$ ein Polynom mit $\deg f\leq n$. Seien weiter $t_0,t_1,...,t_n\in K$ paarweise verscheidern. Zeigen Sie, dass $f=0$ gilt, falls $f(t_i)=0$ für $0\leq i \leq n$ ist.
Folgern Sie daraus, dass falls $|K|\ge m+1$ und $f\in K[x]$ ungleich null mit $\deg f \leq m$ ein $c\in K$ mit $f(c)\neq 0$ existiert.
b) Sei K jetzt endlich. Geben Sie ein Beilspiel eines Polynomes $f\in K[x]$ mit $f\neq 0$ so, dass $f(c)=0$ für alle $c\inK$. |
Hallo miteinander :)
Ich habe etwas Schwierigkeiten bei den zwei oben genannten Teilaufgaben und würde mich über Denkansätze freuen.
Also der hier beschriebene Polynom in a) mit der Variable x hat ja die Koeffizienten $t_1,...,t_n$, also würde doch der Polynom in etwa so aussehen:
$f(x)=\sum_{i=0}^n{t_0+t_1x+t_2x^2+...+t^nx^n$, oder?
Also würde $f(t_i)$ so aussehen: $f(t_i)=t_0++t_1t_i+t_2t_i+...+t_nt_i$.
Passt das?
Aber wenn ich weiß nicht genau, wie ich hier jetzt alles zeigen soll.
Vielen Dank!
Dudi
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> Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> ERINNERUNG: Ein Polynom [mm]\sum_{i=0}^n{c_ix^i}[/mm] mit [mm]c_i\in K[/mm]
> ist gleich null, wenn [mm]c_i=0[/mm] für alle [mm]c\leq i \leq n[/mm].
>
> i) Sei [mm]f\in K[x][/mm] ein Polynom mit [mm]\deg f\leq n[/mm]. Seien weiter
> [mm]t_0,t_1,...,t_n\in K[/mm] paarweise verscheidern. Zeigen Sie,
> dass [mm]f=0[/mm] gilt, falls [mm]f(t_i)=0[/mm] für [mm]0\leq i \leq n[/mm] ist.
> Folgern Sie daraus, dass falls [mm]|K|\ge m+1[/mm] und [mm]f\in K[x][/mm]
> ungleich null mit [mm]\deg f \leq m[/mm] ein [mm]c\in K[/mm] mit [mm]f(c)\neq 0[/mm]
> existiert.
>
> b) Sei K jetzt endlich. Geben Sie ein Beilspiel eines
> Polynomes [mm]f\in K[x][/mm] mit [mm]f\neq 0[/mm] so, dass [mm]f(c)=0[/mm] für alle
> [mm]c\inK[/mm].
>
> Hallo miteinander :)
> Ich habe etwas Schwierigkeiten bei den zwei oben genannten
> Teilaufgaben und würde mich über Denkansätze freuen.
> Also der hier beschriebene Polynom in a) mit der Variable
> x hat ja die Koeffizienten [mm]t_1,...,t_n[/mm],
Hallo,
nein, die [mm] t_i [/mm] sind nicht die Koeffizienten des Polynoms, sondern - wie's dasteht - n+1 verschiedene Nullstellen.
Du hast also [mm] f(x)=\summe_{i=0}^{deg f}c_ix^i [/mm] , [mm] c_i\in \IR,
[/mm]
und [mm] f(t_k)=\summe_{i=0}^{deg f}c_it_k^i [/mm] für k=0,1,...,n.
Es geht also erstmal darum, daß ein Polynom vom Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen hat oder das Nullpolynom ist.
LG Angela
> also würde doch
> der Polynom in etwa so aussehen:
> [mm]f(x)=\sum_{i=0}^n{t_0+t_1x+t_2x^2+...+t^nx^n[/mm], oder?
> Also würde [mm]f(t_i)[/mm] so aussehen:
> [mm]f(t_i)=t_0++t_1t_i+t_2t_i+...+t_nt_i[/mm].
> Passt das?
> Aber wenn ich weiß nicht genau, wie ich hier jetzt alles
> zeigen soll.
> Vielen Dank!
> Dudi
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> > Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> > ERINNERUNG: Ein Polynom [mm]\sum_{i=0}^n{c_ix^i}[/mm] mit [mm]c_i\in K[/mm]
> > ist gleich null, wenn [mm]c_i=0[/mm] für alle [mm]c\leq i \leq n[/mm].
> >
> > i) Sei [mm]f\in K[x][/mm] ein Polynom mit [mm]\deg f\leq n[/mm]. Seien weiter
> > [mm]t_0,t_1,...,t_n\in K[/mm] paarweise verscheidern. Zeigen Sie,
> > dass [mm]f=0[/mm] gilt, falls [mm]f(t_i)=0[/mm] für [mm]0\leq i \leq n[/mm] ist.
> > Folgern Sie daraus, dass falls [mm]|K|\ge m+1[/mm] und [mm]f\in K[x][/mm]
> > ungleich null mit [mm]\deg f \leq m[/mm] ein [mm]c\in K[/mm] mit [mm]f(c)\neq 0[/mm]
> > existiert.
> >
> > b) Sei K jetzt endlich. Geben Sie ein Beilspiel eines
> > Polynomes [mm]f\in K[x][/mm] mit [mm]f\neq 0[/mm] so, dass [mm]f(c)=0[/mm] für alle
> > [mm]c\inK[/mm].
> >
> > Hallo miteinander :)
> > Ich habe etwas Schwierigkeiten bei den zwei oben
> genannten
> > Teilaufgaben und würde mich über Denkansätze freuen.
> > Also der hier beschriebene Polynom in a) mit der
> Variable
> > x hat ja die Koeffizienten [mm]t_1,...,t_n[/mm],
>
> Hallo,
>
> nein, die [mm]t_i[/mm] sind nicht die Koeffizienten des Polynoms,
> sondern - wie's dasteht - n+1 verschiedene Nullstellen.
>
> Du hast also [mm]f(x)=\summe_{i=0}^{deg f}c_ix^i[/mm] , [mm]c_i\in \IR,[/mm]
>
> und [mm]f(t_k)=\summe_{i=0}^{deg f}c_it_k^i[/mm] für k=0,1,...,n.
>
> Es geht also erstmal darum, daß ein Polynom vom Grad n
> höchstens n verschiedene Nullstellen hat oder das
> Nullpolynom ist.
>
> LG Angela
Ah, natürlich, vielen Dank :)
Also könnte ich das ja theoretisch mit vollständiger Induktion machen, oder?
Also ungefähr so:
Induktionsanfang für $n=0$:
[mm] $\deg [/mm] f =0$
[mm] $f(x)=c_0=0\Rightarrow c_0=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] f(x)=0$
Somit wäre f das Nullpolynom.
Induktionsvoraussetzung:
$f=0$ wenn [mm] $f(t_i)=0$ [/mm] für [mm] $0\leq i\leq [/mm] n$ ist wahr.
Induktionsschritt:
[mm] $\deg [/mm] f =n+1$
[mm] $f(x)=\sum_{i=0}^{n+1}{c_ix^i}=(\sum_{i=0}^n{c_ix^i})+c_{n+1}x^{n+1}$
[/mm]
[mm] $f(t_i)=(\sum_{i=0}^n{c_it_i^i})+c_{n+1}t_{n+1}^{n+1}$
[/mm]
Sei nun [mm] $g(x):=\sum_{i=0}^n{c_ix^i}$, [/mm] dann gilt:
[mm] $f(t_i)=g(t_i)+c_{n+1}t_{n+1}^{n+1}=0+c_{n+1}t_{n+1}^{n+1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow c_{n+1}t_{n+1}^{n+1}=0 \Rightarrow [/mm] f=0$
Kann ich das so schreiben, stimmt das?
Vielen Dank,
lG
Dudi
>
>
>
> > also würde doch
> > der Polynom in etwa so aussehen:
> > [mm]f(x)=\sum_{i=0}^n{t_0+t_1x+t_2x^2+...+t^nx^n[/mm], oder?
> > Also würde [mm]f(t_i)[/mm] so aussehen:
> > [mm]f(t_i)=t_0++t_1t_i+t_2t_i+...+t_nt_i[/mm].
> > Passt das?
> > Aber wenn ich weiß nicht genau, wie ich hier jetzt
> alles
> > zeigen soll.
> > Vielen Dank!
> > Dudi
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DudiPupan,
> Also könnte ich das ja theoretisch mit vollständiger
> Induktion machen, oder?
> Also ungefähr so:
> Induktionsanfang für [mm]n=0[/mm]:
> [mm]\deg f =0[/mm]
> [mm]f(x)=c_0=0[/mm]
Da fehlt das entscheidende Argument: Wir haben ein [mm] $t_0\in [/mm] K$ mit [mm] $f(t_0)=0$. [/mm] Also [mm] $c_0=f(t_0)=0$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow c_0=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(x)=0[/mm]
>
> Somit wäre f das Nullpolynom.
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]f=0[/mm] wenn [mm]f(t_i)=0[/mm] für [mm]0\leq i\leq n[/mm] ist wahr.
Für alle Polynome f vom Grad [mm] $\le [/mm] n$.
> Induktionsschritt:
> [mm]\deg f =n+1[/mm]
>
> [mm]f(x)=\sum_{i=0}^{n+1}{c_ix^i}=(\sum_{i=0}^n{c_ix^i})+c_{n+1}x^{n+1}[/mm]
Im Folgenden betrachtest du offenbar ein [mm] $i\in\{0,\ldots,n+1\}$. [/mm] Dann solltest du als Summationsindex nicht gleichzeitig $i$ wählen... 
> [mm]f(t_i)=(\sum_{i=0}^n{c_it_i^i})+c_{n+1}t_{n+1}^{n+1}[/mm]
> Sei nun [mm]g(x):=\sum_{i=0}^n{c_ix^i}[/mm], dann gilt:
> [mm]f(t_i)=g(t_i)+c_{n+1}t_{n+1}^{n+1}=0+c_{n+1}t_{n+1}^{n+1}[/mm]
Warum sollte [mm] $g(t_i)=0$ [/mm] sein? Hieran scheitert dein Beweisversuch leider...
Auf den typischerweise verwendeten korrekten Beweis wäre ich selbst sicherlich nicht gekommen; hier ist der entscheidende Ausschnitt:
Induktionsschritt: Gelte $g=0$ für alle Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] n$, die mehr als n paarweise verschiedene Nullstellen haben.
Sei nun $f$ ein Polynom vom Grad $n+1$, für das paarweise verschiedene Nullstellen [mm] $t_0,\ldots,t_{n+1}\in [/mm] K$ existieren. Zu zeigen ist $f=0$.
Nach dem Satz von der Polynomdivision [mm] ("$\bruch{f}{x-t_{n+1}}$") [/mm] existieren Polynome g,c mit [mm] $f=g*(x-t_{n+1})+c$, [/mm] so dass der Grad von c kleiner als der Grad von [mm] $x-t_{n+1}$, [/mm] also kleiner 1 ist. Also hat c Grad 0 und somit [mm] $c\in [/mm] K$.
1. Setze nun [mm] $t_{n+1}$ [/mm] in die Gleichung [mm] $f=g*(x-t_{n+1})+c$ [/mm] ein, um $c=0$ zu zeigen.
Also [mm] $f=g*(x-t_{n+1})$.
[/mm]
2. Zeige, dass der Grad von g genau n ist.
3. Folgere [mm] $g(t_0)=\ldots=g(t_n)=0$ [/mm] aus [mm] $f(t_0)=\ldots=f(t_n)=0$ [/mm] und der Verschiedenheit von [mm] $t_0,\ldots,t_n$ [/mm] von [mm] $t_{n+1}$.
[/mm]
4. Wende die Induktionsvoraussetzung auf g an.
5. Folgere $f=0$.
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
EDIT: Könnte ein Moderator bitte die Frage als vollständig beantwortet markieren? Ich habe sie versehentlich nur als teilweise beantwortet markiert. Danke!
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Okay, vielen Dak :)
Das kriege ich hi.
Aber hat vielleic ht och jemad einen Tipp zur b) die 2.?
Und zur c)?
Viele Dak :)
lG
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Aber hat vielleic ht och jemad einen Tipp zur b) die 2.?
Folgere dies aus dem bereits gezeigten Teil von b).
Da [mm] $|K|\ge [/mm] m+1$ existieren paarweise verschiedene Körperelemente [mm] $t_0,\ldots,t_m\in [/mm] K$. Wäre nun $f(c)=0$ für alle [mm] $c\in [/mm] K$...
> Und zur c)?
Sei [mm] $K=\{t_0,\ldots,t_n\}$. [/mm] Da [mm] $t_0$ [/mm] Nullstelle unseres gesuchten Polynoms $f$ sein soll, muss f Vielfaches von [mm] $x-t_0$ [/mm] sein. Da [mm] $t_1$ [/mm] Nullstelle von $f$ sein soll, ...
Bringt dich das auf eine Idee, wie du $f$ wählen könntest?
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> > Aber hat vielleicht noch jemad einen Tipp zur b) die 2.?
> Folgere dies aus dem bereits gezeigten Teil von b).
>
> Da [mm]|K|\ge m+1[/mm] existieren paarweise verschiedene
> Körperelemente [mm]t_0,\ldots,t_m\in K[/mm]. Wäre nun [mm]f(c)=0[/mm] für
> alle [mm]c\in K[/mm]...
Kann ich hier so argumentieren:
Wäre nun [mm]f(c)=0[/mm] für alle [mm] $c\in [/mm] K$, dann hätte $f$ $m+1$-Nullstellen und da gilt: [mm] $\deg{f}\leq [/mm] m$ würde gelten: $f=0$ , da aber [mm] $f\neq [/mm] 0$ gilt, muss ein [mm] $c\in [/mm] K$ existieren mit [mm] $f(c)\neq [/mm] 0$
???
:)
>
>
> > Und zur c)?
> Sei [mm]K=\{t_0,\ldots,t_n\}[/mm]. Da [mm]t_0[/mm] Nullstelle unseres
> gesuchten Polynoms [mm]f[/mm] sein soll, muss f Vielfaches von [mm]x-t_0[/mm]
> sein. Da [mm]t_1[/mm] Nullstelle von [mm]f[/mm] sein soll, ...
Bei der c) komme ich irgendwie noch auf keinen grünen Zweig :-/
>
> Bringt dich das auf eine Idee, wie du [mm]f[/mm] wählen könntest?
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> > > Aber hat vielleicht noch jemad einen Tipp zur b) die 2.?
> > Folgere dies aus dem bereits gezeigten Teil von b).
> >
> > Da [mm]|K|\ge m+1[/mm] existieren paarweise verschiedene
> > Körperelemente [mm]t_0,\ldots,t_m\in K[/mm]. Wäre nun [mm]f(c)=0[/mm] für
> > alle [mm]c\in K[/mm]...
> Kann ich hier so argumentieren:
> Wäre nun [mm]f(c)=0[/mm] für alle [mm]c\in K[/mm], dann hätte [mm]f[/mm]
> [mm]m+1[/mm]-Nullstellen und da gilt: [mm]\deg{f}\leq m[/mm] würde gelten:
> [mm]f=0[/mm] , da aber [mm]f\neq 0[/mm] gilt, muss ein [mm]c\in K[/mm] existieren mit
> [mm]f(c)\neq 0[/mm]
> ???
> :)
> >
> >
> > > Und zur c)?
> > Sei [mm]K=\{t_0,\ldots,t_n\}[/mm]. Da [mm]t_0[/mm] Nullstelle unseres
> > gesuchten Polynoms [mm]f[/mm] sein soll, muss f Vielfaches von [mm]x-t_0[/mm]
> > sein. Da [mm]t_1[/mm] Nullstelle von [mm]f[/mm] sein soll, ...
>
> Bei der c) komme ich irgendwie noch auf keinen grünen
> Zweig :-/
> >
Könnte ich das so machen?
" Sei [mm]K=\{t_0,\ldots,t_n\}[/mm]. Da [mm]t_0[/mm] Nullstelle unseres
gesuchten Polynoms [mm]f[/mm] sein soll, muss f Vielfaches von [mm]x-t_0[/mm]
sein. Da [mm]t_1[/mm] Nullstelle von [mm]f[/mm] sein soll, ..."
...muss f ein Vielfaches von [mm] $x-t_1$ [/mm] sein...
also:
[mm] $f:=(x-t_0)*(x-t_1)*...*(x-t_n)=\produkt_{i=0}^n{(x-t_i)}$
[/mm]
Oder bin ich hier auf dem Holzweg?
Wenn ich jetzt aber hier den Grad betrachte:
[mm] $\deg{f}=\deg{(x-t_0)*(x-t_1)*...*(x-t_n)}=\deg{(x-t_0)}+\deg{(x-t_1)}+...+\deg{(x-t_n)}=1+1+...+1=n$
[/mm]
dann könnte das doch, stimmen, oder?
> > Bringt dich das auf eine Idee, wie du [mm]f[/mm] wählen könntest?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Mo 30.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Mo 30.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Okay, also ich habe mich nochmal dran versucht:
> Auf den typischerweise verwendeten korrekten Beweis wäre
> ich selbst sicherlich nicht gekommen; hier ist der
> entscheidende Ausschnitt:
>
>
> Induktionsschritt: Gelte [mm]g=0[/mm] für alle Polynome vom Grad
> [mm]\le n[/mm], die mehr als n paarweise verschiedene Nullstellen
> haben.
>
> Sei nun [mm]f[/mm] ein Polynom vom Grad [mm]n+1[/mm], für das paarweise
> verschiedene Nullstellen [mm]t_0,\ldots,t_{n+1}\in K[/mm]
> existieren. Zu zeigen ist [mm]f=0[/mm].
>
> Nach dem Satz von der Polynomdivision
> ("[mm]\bruch{f}{x-t_{n+1}}[/mm]") existieren Polynome g,c mit
> [mm]f=g*(x-t_{n+1})+c[/mm], so dass der Grad von c kleiner als der
> Grad von [mm]x-t_{n+1}[/mm], also kleiner 1 ist. Also hat c Grad 0
> und somit [mm]c\in K[/mm].
>
> 1. Setze nun [mm]t_{n+1}[/mm] in die Gleichung [mm]f=g*(x-t_{n+1})+c[/mm]
> ein, um [mm]c=0[/mm] zu zeigen.
Da [mm] $t_n+1$ [/mm] Nullstelle von f ist: [mm] $f(t_{n+1})=g(t_{n+1})*(t_{n+1}-t_{n+1})+c=g(t_{n+1}*0+c=c=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f=g*(x-t_{n+1})$
[/mm]
>
> Also [mm]f=g*(x-t_{n+1})[/mm].
>
> 2. Zeige, dass der Grad von g genau n ist.
>
Es gilt: [mm] $\deg{(f*g)}=\deg{f}+\deg{g}$, [/mm] also:
[mm] $\deg{(g*(x-t_{n+1}))}=\deg{g}+\deg{(x-t_{n+1})}=\deg{f}=n+1$
[/mm]
Da gilt: [mm] $\deg{(x-t_{n+1})}=1$ [/mm] folgt: [mm] $\deg{g}=n$
[/mm]
> 3. Folgere [mm]g(t_0)=\ldots=g(t_n)=0[/mm] aus
> [mm]f(t_0)=\ldots=f(t_n)=0[/mm] und der Verschiedenheit von
> [mm]t_0,\ldots,t_n[/mm] von [mm]t_{n+1}[/mm].
>
Es gilt: [mm] $f(t_i)=g(t_i)*(t_i-t_{n+1})=0$
[/mm]
Da [mm] $t_1,...,t_n,t_{n+1}$ [/mm] paarweise verschieden, gilt: [mm] $t_i\neq t_{n+1}$ [/mm] für [mm] $0\leq i\leq [/mm] n$
Also: [mm] $g(t_i)=0$ [/mm] für [mm] $0\leq i\leq [/mm] n$, damit [mm] $f(t_i)=0$ [/mm] gilt.
> 4. Wende die Induktionsvoraussetzung auf g an.
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt: $g=0$
>
> 5. Folgere [mm]f=0[/mm].
>
Somit gilt: [mm] $f=g*(x-t_{n+1})=0*(x-t_{n+1})=0$
[/mm]
>
> Viel Erfolg!
Passt das???
Ist natürlich etwas kurz gehalten, wird noch schöner formuliert ;)
Vielen Dank :)
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
>
>
> EDIT: Könnte ein Moderator bitte die Frage als
> vollständig beantwortet markieren? Ich habe sie
> versehentlich nur als teilweise beantwortet markiert.
> Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Induktionsschritt: Gelte [mm]g=0[/mm] für alle Polynome vom Grad
> > [mm]\le n[/mm], die mehr als n paarweise verschiedene Nullstellen
> > haben.
> >
> > Sei nun [mm]f[/mm] ein Polynom vom Grad [mm]n+1[/mm], für das paarweise
> > verschiedene Nullstellen [mm]t_0,\ldots,t_{n+1}\in K[/mm]
> > existieren. Zu zeigen ist [mm]f=0[/mm].
> >
> > Nach dem Satz von der Polynomdivision
> > ("[mm]\bruch{f}{x-t_{n+1}}[/mm]") existieren Polynome g,c mit
> > [mm]f=g*(x-t_{n+1})+c[/mm], so dass der Grad von c kleiner als der
> > Grad von [mm]x-t_{n+1}[/mm], also kleiner 1 ist. Also hat c Grad 0
> > und somit [mm]c\in K[/mm].
> >
> > 1. Setze nun [mm]t_{n+1}[/mm] in die Gleichung [mm]f=g*(x-t_{n+1})+c[/mm]
> > ein, um [mm]c=0[/mm] zu zeigen.
>
> Da [mm]t_n+1[/mm] Nullstelle von f ist:
> [mm]f(t_{n+1})=g(t_{n+1})*(t_{n+1}-t_{n+1})+c=g(t_{n+1}*0+c=c=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow f=g*(x-t_{n+1})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Also [mm]f=g*(x-t_{n+1})[/mm].
> >
> > 2. Zeige, dass der Grad von g genau n ist.
> >
> Es gilt: [mm]\deg{(f*g)}=\deg{f}+\deg{g}[/mm], also:
>
> [mm]\deg{(g*(x-t_{n+1}))}=\deg{g}+\deg{(x-t_{n+1})}=\deg{f}=n+1[/mm]
> Da gilt: [mm]\deg{(x-t_{n+1})}=1[/mm] folgt: [mm]\deg{g}=n[/mm]
> > 3. Folgere [mm]g(t_0)=\ldots=g(t_n)=0[/mm] aus
> > [mm]f(t_0)=\ldots=f(t_n)=0[/mm] und der Verschiedenheit von
> > [mm]t_0,\ldots,t_n[/mm] von [mm]t_{n+1}[/mm].
> >
> Es gilt: [mm]f(t_i)=g(t_i)*(t_i-t_{n+1})=0[/mm]
> Da [mm]t_1,...,t_n,t_{n+1}[/mm] paarweise verschieden, gilt:
> [mm]t_i\neq t_{n+1}[/mm] für [mm]0\leq i\leq n[/mm]
> Also: [mm]g(t_i)=0[/mm] für
> [mm]0\leq i\leq n[/mm], damit [mm]f(t_i)=0[/mm] gilt.
> > 4. Wende die Induktionsvoraussetzung auf g an.
>
> Aus der Induktionsvoraussetzung folgt: [mm]g=0[/mm]
> > 5. Folgere [mm]f=0[/mm].
> >
>
> Somit gilt: [mm]f=g*(x-t_{n+1})=0*(x-t_{n+1})=0[/mm]
Sehr schön, alles richtig!
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