Polynome, Basis, Nilpotent < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 03.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $V=\mathbb{R}_3[T]$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ und
[mm] $\phi: V\to [/mm] V$
die lineare Abbildung
[mm] $f\mapsto [/mm] f'+Tf''$ für [mm] $f\in [/mm] V$
I) Zeigen Sie, dass f nilpotent ist.
II) Bestimmen sie eine Basis von V. |
Hi,
ich bräuchte gerade etwas Hilfe für II). Die Aufgabe I) war ja einfach stumpfes ausrechnen (in der Abbildung sind die erste und zweite Ableitung gemeint). Der Nilpotenzgrad sollte 4 sein. Man betrachtet die Funktion
[mm] $f(T)=aT^3+bT^2+cT+d$
[/mm]
[mm] $\phi^4(f)=0$
[/mm]
Allerdings benötige ich etwas Hilfe um eine Basis zu bestimmen.
Wir sollen eine Kette erzeugen mit
[mm] $\{0\}=V_4\subset V_3\subset V_2\subset V_1\subset V_0=\mathbb{R}_3[T]$
[/mm]
Die sich jeweils um einen Grad unterscheiden.
Aber wie wende ich dies hier an?
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Hallo,
wieso darfst du nicht die Standardbasis von [mm]V[/mm] nehmen, [mm]\mathcal B=\{T^0,T^1,T^2,T^3\}=\{1,T,T^2,T^3\}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Di 03.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Wir hatten ein Theorem (Struktur von nilpotenten Endomorphismen) bewiesen und sollen dieses Verwenden.
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> Sei [mm]V=\mathbb{R}_3[T][/mm] der [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum der
> Polynome vom Grad [mm]\leq 3[/mm] und
>
> [mm]\phi: V\to V[/mm]
>
> die lineare Abbildung
>
> [mm]f\mapsto f'+Tf''[/mm] für [mm]f\in V[/mm]
>
> I) Zeigen Sie, dass f nilpotent ist.
Hallo,
Du sollst wohl eher zeigen, daß [mm] \phi [/mm] nilpotent ist.
> II) Bestimmen sie eine Basis von V.
Hier wäre es hilfreich, wenn man auch erfahren dürfte, was diese Basis leisten soll.
Die Standardbasis ist ja schon ziemlich neckisch, denn bzgl dieser ist die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] eine obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen.
Naja, ich glaube irgendwie, daß Du eine Jordanbasis bestimmen sollst.
Tue dies:
Bestimme Basen von [mm] Kern\phi, Kern\phi^2, Kern\phi^3, Kern\phi^4=V
[/mm]
Jetzt nimm einen Vektor v aus der Basis von [mm] Kern\phi^4, [/mm] welcher nicht in [mm] Kern\phi^3 [/mm] enthalten ist und berechne v, [mm] \phi(v), \phi^2(v), \phi^3(v).
[/mm]
Ich denke, daß dies die Basisvektoren sind, welche Du suchst.
LG Angela
> Hi,
>
> ich bräuchte gerade etwas Hilfe für II). Die Aufgabe I)
> war ja einfach stumpfes ausrechnen (in der Abbildung sind
> die erste und zweite Ableitung gemeint). Der Nilpotenzgrad
> sollte 4 sein. Man betrachtet die Funktion
>
> [mm]f(T)=aT^3+bT^2+cT+d[/mm]
>
> [mm]\phi^4(f)=0[/mm]
>
> Allerdings benötige ich etwas Hilfe um eine Basis zu
> bestimmen.
>
> Wir sollen eine Kette erzeugen mit
>
> [mm]\{0\}=V_4\subset V_3\subset V_2\subset V_1\subset V_0=\mathbb{R}_3[T][/mm]
>
> Die sich jeweils um einen Grad unterscheiden.
> Aber wie wende ich dies hier an?
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