Polynome, Distributivgesetz < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 16.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es seien p,q [mm] \in \IR[x]
[/mm]
p(x)= [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i
[/mm]
q(x)= [mm] \sum_{j=0}^m b_j x^j
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \IR[x] [/mm] ein kommutativer Ring mit Einselement ist. |
Hallo zusammen,
Mir fehlt das Distributivgesetz:
[mm] \forall [/mm] p,q,s [mm] \in \IR[x]
[/mm]
p(x)= [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i
[/mm]
q(x)= [mm] \sum_{j=0}^m b_j x^j
[/mm]
s(x)= [mm] \sum_{k=0}^u c_k x^k
[/mm]
wobei ich O.B.d.A. annehme m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] u (ist das okay?)
wobei ich die Koeffizienten [mm] a_i [/mm] bei i>n und [mm] c_k [/mm] bei k >u automatisch 0 setze.
(p*(q+s))(x)=p(x)*(q+s)(x)= [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i [/mm] * [mm] (\sum_{t=0}^m (b_t [/mm] + [mm] c_t) x^t) [/mm] = [mm] \sum_{d=0}^{n+m} (\sum_{d=i+t} a_i (b_t [/mm] + [mm] c_t)) x^d [/mm] = [mm] \sum_{d=0}^{n+m} (\sum_{d=i+t} a_i b_t [/mm] + [mm] a_i c_t)) x^d
[/mm]
((p*q)+(p*s)) (x)=(pq)(x) + (ps) (x) = [mm] \sum_{r=0}^{m+n} [/mm] ( [mm] \sum_{r=i+j} a_i b_j) x^r [/mm] + [mm] \sum_{h=0}^{m+u} [/mm] ( [mm] \sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h
[/mm]
Liebe Grüße,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:08 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissi,
> Es seien p,q [mm]\in \IR[x][/mm]
> p(x)= [mm]\sum_{i=0}^n a_i x^i[/mm]
> q(x)=
> [mm]\sum_{j=0}^m b_j x^j[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\IR[x][/mm] ein
> kommutativer Ring mit Einselement ist.
> Hallo zusammen,
>
> Mir fehlt das Distributivgesetz:
> [mm]\forall[/mm] p,q,s [mm]\in \IR[x][/mm]
> p(x)= [mm]\sum_{i=0}^n a_i x^i[/mm]
>
> q(x)= [mm]\sum_{j=0}^m b_j x^j[/mm]
> s(x)= [mm]\sum_{k=0}^u c_k x^k[/mm]
>
> wobei ich O.B.d.A. annehme m [mm]\ge[/mm] n [mm]\ge[/mm] u (ist das okay?)
natürlich. Der Grund ist doch einfach: Wenn dem nicht so ist, dann benennst
Du einfach die Polynome um.
> wobei ich die Koeffizienten [mm]a_i[/mm] bei i>n und [mm]c_k[/mm] bei k >u
> automatisch 0 setze.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (p*(q+s))(x)=p(x)*(q+s)(x)= [mm]\sum_{i=0}^n a_i x^i[/mm] * [mm](\sum_{t=0}^m (b_t[/mm] + [mm]c_t) x^t)[/mm] = [mm]\sum_{d=0}^{n+m} (\sum_{d=i+t} a_i (b_t[/mm] + [mm]c_t)) x^d[/mm] = [mm]\sum_{d=0}^{n+m} (\sum_{d=i+t} a_i b_t[/mm] + [mm]a_i c_t)) x^d[/mm]
Sieht gut aus - wobei ich die Notation da etwas merkwürdig finde. Ich würde
da eher
[mm] $...=\sum_{d=0}^{n+m}\big(\sum_{\substack{(i,t) \in \IN_0 \times \IN_0\\i+t=d}}(a_ib_t+a_ic_t)x^d\big)$
[/mm]
und sowas schreiben...
> ((p*q)+(p*s)) (x)=(pq)(x) + (ps) (x) = [mm]\sum_{r=0}^{m+n}[/mm] ( [mm]\sum_{r=i+j} a_i b_j) x^r[/mm] + [mm]\sum_{h=0}^{m+u}[/mm] ( [mm]\sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h[/mm]
Da fehlt aber noch ein bisschen was. Ich denke mal, dass Du da auch Deine
Nullkoeffizienten, die Du ergänzt hast, mit einbringen musst.
Tipp: Es kann durchaus hilfreich sein, sich das Ganze erstmal an einem
einfachen Beispiel klar zu machen (bei den Beispielen reicht es, [mm] $n,\,m,\,u$ [/mm] exemplarisch
mal festzulegen - und natürlich auch nicht zu groß).
Oder man schreibt das Ganze erstmal ohne Summenzeichen hin, mit der
...-Notation!
P.S. Eigentlich kannst Du Dir das Ganze noch ein wenig einfacher machen:
Indem Du [mm] $N=\max\{m,\,n,\,u\}$ [/mm] setzt und wie oben "fehlende Koeffizienten
als 0 setzt", kannst Du o.B.d.A. alle drei Polynome in der Form
[mm] $p(x)=\sum_{k=0}^\red{N}a_kx^k,$
[/mm]
[mm] $q(x)=\sum_{k=0}^\red{N}b_kx^k,$
[/mm]
[mm] $s(x)=\sum_{k=0}^\red{N}c_kx^k$
[/mm]
schreiben. Natürlich sieht man hier dann nicht mehr den Grad des Polynoms...
Aber das Rechnen mit dem Summensymbol wird dadurch viel überschaubarer...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Fr 17.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel!
> > Mir fehlt das Distributivgesetz:
> > [mm]\forall[/mm] p,q,s [mm]\in \IR[x][/mm]
> > p(x)= [mm]\sum_{i=0}^n a_i x^i[/mm]
>
> >
> > q(x)= [mm]\sum_{j=0}^m b_j x^j[/mm]
> > s(x)= [mm]\sum_{k=0}^u c_k x^k[/mm]
>
> >
> > wobei ich O.B.d.A. annehme m [mm]\ge[/mm] n [mm]\ge[/mm] u (ist das okay?)
>
> natürlich. Der Grund ist doch einfach: Wenn dem nicht so
> ist, dann benennst
> Du einfach die Polynome um.
Dieses Argument funktioniert hier nicht so einfach: $p$ nimmt im Distributivgesetz $p(q+s)=pq+ps$ eine andere Rolle ein als $q$ und $s$.
> P.S. Eigentlich kannst Du Dir das Ganze noch ein wenig
> einfacher machen:
> Indem Du [mm]N=\max\{m,\,n,\,u\}[/mm] setzt und wie oben "fehlende
> Koeffizienten
> als 0 setzt", kannst Du o.B.d.A. alle drei Polynome in der
> Form
>
> [mm]p(x)=\sum_{k=0}^\red{N}a_kx^k,[/mm]
>
> [mm]q(x)=\sum_{k=0}^\red{N}b_kx^k,[/mm]
>
> [mm]s(x)=\sum_{k=0}^\red{N}c_kx^k[/mm]
>
> schreiben. Natürlich sieht man hier dann nicht mehr den
> Grad des Polynoms...
> Aber das Rechnen mit dem Summensymbol wird dadurch viel
> überschaubarer...
Mit diesem Argument hingegen funktioniert natürlich auch sissiles oBdA.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Fr 17.10.2014 | | Autor: | sissile |
> Hallo Marcel!
>
>
> > > Mir fehlt das Distributivgesetz:
> > > [mm]\forall[/mm] p,q,s [mm]\in \IR[x][/mm]
> > > p(x)= [mm]\sum_{i=0}^n a_i x^i[/mm]
>
> >
> > >
> > > q(x)= [mm]\sum_{j=0}^m b_j x^j[/mm]
> > > s(x)= [mm]\sum_{k=0}^u c_k x^k[/mm]
>
> >
> > >
> > > wobei ich O.B.d.A. annehme m [mm]\ge[/mm] n [mm]\ge[/mm] u (ist das okay?)
> >
> > natürlich. Der Grund ist doch einfach: Wenn dem nicht so
> > ist, dann benennst
> > Du einfach die Polynome um.
> Dieses Argument funktioniert hier nicht so einfach: [mm]p[/mm] nimmt
> im Distributivgesetz [mm]p(q+s)=pq+ps[/mm] eine andere Rolle ein als
> [mm]q[/mm] und [mm]s[/mm].
>
>
> > P.S. Eigentlich kannst Du Dir das Ganze noch ein wenig
> > einfacher machen:
> > Indem Du [mm]N=\max\{m,\,n,\,u\}[/mm] setzt und wie oben
> "fehlende
> > Koeffizienten
> > als 0 setzt", kannst Du o.B.d.A. alle drei Polynome in
> der
> > Form
> >
> > [mm]p(x)=\sum_{k=0}^\red{N}a_kx^k,[/mm]
> >
> > [mm]q(x)=\sum_{k=0}^\red{N}b_kx^k,[/mm]
> >
> > [mm]s(x)=\sum_{k=0}^\red{N}c_kx^k[/mm]
> >
> > schreiben. Natürlich sieht man hier dann nicht mehr den
> > Grad des Polynoms...
> > Aber das Rechnen mit dem Summensymbol wird dadurch viel
> > überschaubarer...
> Mit diesem Argument hingegen funktioniert natürlich auch
> sissiles oBdA.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hallo Tobias,
Ja das stimmt - in meiner Ausarbeitung werde ich mit Marcel´s Methode arbeiten.
LG,
sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Fr 17.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Marcel,
Ich hab mir alles mit "...-Schreibweise" aufgeschrieben und erkannt, wie ich die Gleichheit sehe.
> ((p*q)+(p*s)) (x)=(pq)(x) + (ps) (x) = $ [mm] \sum_{r=0}^{m+n} [/mm] $ ( $ [mm] \sum_{r=i+j} a_i b_j) x^r [/mm] $ + $ [mm] \sum_{h=0}^{m+u} [/mm] $ ( $ [mm] \sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h [/mm] $
Indem ich 0-er dazuaddiere erhöhe ich die obere Grenze der zweiten äußeren Summe
$ [mm] \sum_{h=0}^{m+u} [/mm] $ ( $ [mm] \sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h [/mm] $ = $ [mm] \sum_{h=0}^{m+n} [/mm] $ ( $ [mm] \sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h [/mm] $
somit kann ich die beiden äußeren Summen addieren
$ [mm] \sum_{r=0}^{m+n} [/mm] $ ( $ [mm] \sum_{r=i+j} a_i b_j) x^r [/mm] $ + $ [mm] \sum_{h=0}^{m+n} [/mm] $ ( $ [mm] \sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h [/mm] $ = [mm] \sum_{r=0}^{m+n} [/mm] ( [mm] \sum_{r=i+j} a_i b_j [/mm] + [mm] \sum_{r=i+k} a_i c_k) x^r
[/mm]
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissi,
> Hallo Marcel,
> Ich hab mir alles mit "...-Schreibweise" aufgeschrieben
> und erkannt, wie ich die Gleichheit sehe.
>
> > ((p*q)+(p*s)) (x)=(pq)(x) + (ps) (x) = [mm]\sum_{r=0}^{m+n}[/mm] (
> [mm]\sum_{r=i+j} a_i b_j) x^r[/mm] + [mm]\sum_{h=0}^{m+u}[/mm] ( [mm]\sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h[/mm]
>
> Indem ich 0-er dazuaddiere erhöhe ich die obere Grenze der
> zweiten äußeren Summe
> [mm]\sum_{h=0}^{m+u}[/mm] ( [mm]\sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h[/mm] = [mm]\sum_{h=0}^{m+n}[/mm] ( [mm]\sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h[/mm]
das sieht ganz gut aus. Wenn Du es jetzt noch *schöner* haben willst, dann
guckst Du mal in die ...-Notation und begründest, warum diese "Erhöhung"
funktioniert. Sie wird ja irgendwas mit dem [mm] $a_i c_k$-Produkt [/mm] zu tun haben...
Muss aber nicht sein. Ich finde es durchaus okay, wenn jemand z.B. so
[mm] $\sum_{k=1}^n k=1+2+...+n=\frac{(1+2+...+(n-1)+n)+(n+(n-1)+...+2+1)}{2}=\frac{\sum_{k=1}^n k\;+\;\sum_{k=1}^n (n+1-k)}{2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sum_{k=1}^n (k+(n+1-k))}{2}=\frac{\sum_{k=1}^n (n+1)}{2}=\frac{\overbrace{(n+1)+(n+1)+...+(n+1)}^{n \text{ an der Zahl}}}{2}=\frac{n*(n+1)}{2}$
[/mm]
den kleinen Gauß beweisen würde. Denn hier sind die ...-Notationen
durchaus geeignet, um die Zwischenschritte besser erklärbar zu machen,
wie ich finde.
> somit kann ich die beiden äußeren Summen addieren
>
> [mm]\sum_{r=0}^{m+n}[/mm] ( [mm]\sum_{r=i+j} a_i b_j) x^r[/mm] + [mm]\sum_{h=0}^{m+n}[/mm] ( [mm]\sum_{h=i+k} a_i c_k) x^h[/mm] = [mm]\sum_{r=0}^{m+n}[/mm] ( [mm]\sum_{r=i+j} a_i b_j[/mm] +[mm]\sum_{r=i+k} a_i c_k) x^r[/mm]
Ich hoffe, dass ich nichts übersehe, aber ich denke, dass das so passt. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:37 Sa 18.10.2014 | | Autor: | sissile |
Danke,
ein netter Beweis vom kleinen Gauß ;)
LG,
sissi
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