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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Polynome Restklassen
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Polynome Restklassen: Elemente der Gruppe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Mo 09.03.2009
Autor: ghostdog

Aufgabe
Finden Sie die Elemente der polynomialen Restklassen Gruppe in [mm] \IZ_{2} [/mm] / [mm] f_{x^2 + x +1}. [/mm] Stellen Sie die Verknüpfungstabelle auf.  

Ich bin mir nicht sicher wie man die Elemente der Restklassengruppe ermittelt. Kann mir jemand ein Schema zeigen wie ich diese Ermittle ? Also in [mm] \IZ_{2} [/mm] würde ich sagen müssen die Elemente 0 und 1 dabei sein, insgesamt sollten es nicht mehr als 4 Elemente sein.

        
Bezug
Polynome Restklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Di 10.03.2009
Autor: Micha

Hallo!
> Finden Sie die Elemente der polynomialen Restklassen Gruppe
> in [mm]\IZ_{2}[/mm] / [mm]f_{x^2 + x +1}.[/mm] Stellen Sie die
> Verknüpfungstabelle auf.
> Ich bin mir nicht sicher wie man die Elemente der
> Restklassengruppe ermittelt. Kann mir jemand ein Schema
> zeigen wie ich diese Ermittle ? Also in [mm]\IZ_{2}[/mm] würde ich
> sagen müssen die Elemente 0 und 1 dabei sein, insgesamt
> sollten es nicht mehr als 4 Elemente sein.

Ich nehme an, du meintest [mm] $\IZ_2 \left[ x \right] [/mm] / f$ mit $f(x) = [mm] x^2+x+1$. [/mm]

Dann musst du dir vorstellen, was der Kern davon ist. Das sind alle Polynome mit $0= [mm] x^2+x+1$. [/mm]
Stellen wir das nach [mm] $x^2$ [/mm] um, dann erhaelt man $ [mm] x^2= [/mm] -x-1 = x+1$, denn wir sind in [mm] $\IZ_2$. [/mm]

Damit lassen sich alle Terme mit Potenz groesser 1 nach dieser Vorschrift ersetzen bis man nur noch Terme
mit den Exponenten $x$ und [mm] $x^0=1$ [/mm] erhaelt. mit den Koeffizienten in [mm] $\IZ_2$ [/mm] ergeben sich dann nur noch 4 Moeglichkeiten.

Diesen Einsetzungsprozess kann man sich auch anders vorstellen, indem man an die schriftliche Division denkt und sich klar macht, wann diese bei Polynomen abbrechen kann.

Gruss Micha :-)


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Polynome Restklassen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 10.03.2009
Autor: ghostdog

Danke für die Antwort, aber mir ist immer noch nicht klar, wie man auf das Element x kommt? Also in [mm] \IZ_{2} [/mm] [x] sind anscheinend immer 0 und 1 dabei. Das mit dem Umstellen und ersetzen verstehe ich auch, aber außer 0,1, x+1 finde ich keine Elemente mehr (x?).
Vielleicht kann man mir das nochmal an der Aufgabe in  [mm] \IZ_{3} [/mm] [x]/ f [mm] x^2 [/mm] +1 erklären?

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Polynome Restklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Mi 11.03.2009
Autor: statler

Hi!

> Danke für die Antwort, aber mir ist immer noch nicht klar,
> wie man auf das Element x kommt?

Darauf kommst du, indem du x durch [mm] x^2 [/mm] + x + 1 mit Rest teilst.

> Also in [mm]\IZ_{2}[/mm] [x] sind
> anscheinend immer 0 und 1 dabei. Das mit dem Umstellen und
> ersetzen verstehe ich auch, aber außer 0,1, x+1 finde ich
> keine Elemente mehr (x?).

Klar, das vollständige Restsystem ist 0, 1, x, x+1.

>  Vielleicht kann man mir das nochmal an der Aufgabe in  
> [mm]\IZ_{3}[/mm] [x]/ f [mm]x^2[/mm] +1 erklären?

Da mußt du dir die Polynome vom Grad [mm] $\le$ [/mm] 1 mit den Koeffizienten aus [mm] $\IZ_{3}$ [/mm] hinschreiben.

Gruß
Dieter


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Polynome Restklassen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Mi 11.03.2009
Autor: ghostdog


> Darauf kommst du, indem du x durch [mm]x^2[/mm] + x + 1 mit Rest
> teilst.

ehrlich gesagt macht das für mich überhaut keinen Sinn, wie soll das aussehen [mm] (x):(x^2+x+1)=? [/mm] das ergibt doch nicht x?
Anders herum   [mm] (x^2+x+1):(x)=x+1 [/mm] Rest 1 bekomme ich auch kein x als Element der Gruppe heraus.  

>  Vielleicht kann man mir das nochmal an der Aufgabe in  
> $ [mm] \IZ_{3} [/mm] $ [x]/ f $ [mm] x^2 [/mm] $ +1 erklären? (= 9 Elemente)

> Da mußt du dir die Polynome vom Grad $ [mm] \le [/mm] $ 1 mit den Koeffizienten aus $ [mm] \IZ_{3} [/mm] $ hinschreiben.

Wie sehen diese Polynome aus ?   0,1,2 Grad < 1 ?
Grad = 1?

wäre dankbar für eine Ausführliche Antwort, wenn es nicht zuviel mühe macht
MFG

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Polynome Restklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Fr 13.03.2009
Autor: Micha

Hallo nochmal!

> > Darauf kommst du, indem du x durch [mm]x^2[/mm] + x + 1 mit Rest
> > teilst.
>  
> ehrlich gesagt macht das für mich überhaut keinen Sinn, wie
> soll das aussehen [mm](x):(x^2+x+1)=?[/mm] das ergibt doch nicht x?
> Anders herum   [mm](x^2+x+1):(x)=x+1[/mm] Rest 1 bekomme ich auch
> kein x als Element der Gruppe heraus.  

Mal ein Beispiel: Was kommt denn als Rest heraus, wenn man [mm] $x^2 [/mm] +2 [mm] \cdot [/mm] x + 1 = [mm] x^2 [/mm] + 1$ durch [mm] $x^2+x+1$ [/mm] schriftlich teilt?
Da solltest du auf $x$ kommen.
Wenn du das hast, dann denke ich solltest du verstehen, wie die Restklassen bei dieser Reduktion sich ergeben.

> >  Vielleicht kann man mir das nochmal an der Aufgabe in  

> > [mm]\IZ_{3}[/mm] [x]/ f [mm]x^2[/mm] +1 erklären? (= 9 Elemente)
>  
> > Da mußt du dir die Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 1 mit den
> Koeffizienten aus [mm]\IZ_{3}[/mm] hinschreiben.
>  
> Wie sehen diese Polynome aus ?   0,1,2 Grad < 1 ?
>  Grad = 1?

Die Polynome vom Grad 0 hast du schon gefunden. Die Polynome vom Grad 1 solltest du eigentlich auch finden koennen.
Mit anderen Worten: Welche Polynome der Form [mm] $a_1 \cdot [/mm] x  + [mm] a_0$ [/mm] gibt es mit den Koeffizienten aus [mm] $\IZ_3$? [/mm]

Gruss Micha :-)

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Polynome Restklassen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:50 Mo 16.03.2009
Autor: ghostdog

Ja vielen dank nochmal für die Antwort, also wenn das anscheinend so
>Welche Polynome der Form $ [mm] a_1 \cdot [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] $ gibt
funktioniert , dann glaube hab ich es verstanden.  

bleibt für [mm] \IZ_{3}/x^2+1 [/mm] also die Elemente
0,1,2  für grad 0
x, 2x, x+1, x+2, 2x+1, 2x+2 für grad 1


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Polynome Restklassen: Primig!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:11 Mo 16.03.2009
Autor: statler

So isset!

Ciao
Dieter

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