Polynome für Wurzel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:28 Do 01.06.2006 | | Autor: | sonisun |
| Aufgabe | Finden Sie (z.B. mit Hilfe der Mathematika-Funktion InterpolatingPolynomial) ein Polynom p vom Grad höchstens drei mit p(x) [mm] =\wurzel{x} [/mm] für x= 0,1,4,9
a) ist p eindeutig bestimmt?
b) Skizzieren Sie die Graphen für x->p(x) und x->Wurzel von x für x element von [0,15] |
also natürlich habe ich nicht mathematica und deswegen mühsam per hand ein Polynom ermittelt, dass der [mm] \wurzel{x} [/mm] Funktion entspricht:
p(x)=(37/30)x-0,25x²+(1/60)x³
das war für mich schon ein großes Erfolgserlebnis. doch nun frage ich mich ob p eindeutig ist. meine Version von p(x) ist es ja, aber hab ich ja beim Rechenweg ne andere Version einfach übergangen? Vielleicht hat ja jemand so ein Zauberprogramm wie mathematika und kann das damit ganz schnell feststellen. freue mich auf hinweise.
zub) moment: müssen die zwei graphen denn nicht gleich sein? oder ist das so, dass nur [mm] x->\wurzel{x} [/mm] ein durchgezogener Graph ist und das Polynom in Form von 4 Punkten dargestellt werden muss, da es nur für diese 4 Werte gilt? stimmt diese Überlegung? Danke euch schon mal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Do 01.06.2006 | | Autor: | koljan |
ganz einfach. eine gerade wird eindeutig durch 2 punkte bestimmt. eine parabel durch 3. ein polynom 3-ten grades durch 4. somit ist dein polynom p eindeutig bestimmt. es gibt nur dieses eine polynom dritten grades, das durch die 4 punkte geht. das merkt man auch daran, dass du ein gleichungssystem mit 4 gleichungen und 4 unbekannten lösen musstest. so ein gleichungssystem hat nur eine lösung. und diese lösung besteht aus den koeffizenten deines polynoms
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:52 Do 01.06.2006 | | Autor: | sonisun |
vielen dank für die super schnelle Antwort.
noch eine nachfrage: mit dem graphenzeichnen: war da meine Annahme richtig, dass die graphische Darstellung dex Polynoms nur aus den 4 Punkten besteht? oder ist der Graph von p(x) identisch mit dem von [mm] \wuerzel{x}? [/mm] danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:57 Do 01.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo sonison!
Dein ermitteltes Polynom $p(x)_$ stimmt tatsächlich nur in den vorgegebenen Punkten mit der Funktion $f(x) \ = \ [mm] \wurzel{x}$ [/mm] überein. Ansonsten differiert das Polynom schon sehr deutlich.
Besonders deutlich wird das bereits an der Krümmung. Während die Wurzelfunktion ausschließlich Rechtskrümmung aufweist, besitzt $p(x)_$ (sehr charakteristisch für ein kubisches Polynom) für große $x_$ eine Linkskrümmung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
