Polynome und EW < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Mi 09.05.2007 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei [mm] f:V\to [/mm] V ein Endomorphismus und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert
von f . Zeigen Sie, dass für Polynome [mm] q\in [/mm] K[T] jeweils [mm] q(\lambda) [/mm] Eigenwert von q(f) ist. |
hey leute
hab bis jetzt folgendes ansatz:
[mm] q(f)(v)=q(f(v))=\summe_{i\in\IN}a_i(f(v))^i=\summe_{i\in\IN}a_i(\lambda*v)^i
[/mm]
und jetzt müsste ich irgendwie dahin kommen, dass dies wieder gleich
[mm] \summe(q(\lambda)) *v=\summe(a_i*\lambda^i) [/mm] *V
oder?
irgendwie bekomme ich das aber nicht hin :(
habe ich das mit q(f) überhaupt richtig interpretiert?
wäre echt super, wenn mir einer weiterhelfen könnte von euch.
gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mi 09.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> Sei [mm]f:V\to[/mm] V ein Endomorphismus und [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert
> von f . Zeigen Sie, dass für Polynome [mm]q\in[/mm] K[T] jeweils
> [mm]q(\lambda)[/mm] Eigenwert von q(f) ist.
> hey leute
>
> hab bis jetzt folgendes ansatz:
Sei $q = [mm] \sum_{i\in\IN} a_i x^i$.
[/mm]
> [mm]q(f)(v)=q(f(v))=\summe_{i\in\IN}a_i(f(v))^i=\summe_{i\in\IN}a_i(\lambda*v)^i[/mm]
Das macht keinen Sinn, da Potenzen eines Vektors nicht definiert sind! Der Schritt $q(f)(v) = q(f(v))$ ist falsch.
Wenn $f$ ein Endomorphismus ist und $q$ ein Polynom, dann ist $q(f) : V [mm] \to [/mm] V$ ein neuer Endomorphismus, und zwar der durch $v [mm] \mapsto \sum_{i\in\N} a_i f^i(v)$, [/mm] wobei [mm] $f^i$ [/mm] die $i$-fache Hintereinanderausfuehrung von $f$ ist (mit [mm] $f^0 [/mm] = [mm] id_V$).
[/mm]
> und jetzt müsste ich irgendwie dahin kommen, dass dies
> wieder gleich
>
> [mm]\summe(q(\lambda)) *v=\summe(a_i*\lambda^i)[/mm] *V
>
>
> oder?
genau (mit nem kleinen $v$ hinten).
> irgendwie bekomme ich das aber nicht hin :(
>
> habe ich das mit q(f) überhaupt richtig interpretiert?
Nein, s.o. Mit der richtigen Interpretation solltest du es aber hinbekommen... :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mi 09.05.2007 | | Autor: | AriR |
stimmt, dass (v) steht ja nicht in der klammer :)
hab das jetzt mal so versucht:
[mm] q(f)(v)=\summe(a_i f^i)(v)=\summe a_i f^i(v) [/mm] =(BEM) [mm] \summe a_i\lambda^i*v=\summe (a_i*\lambda^i)*v
[/mm]
BEM: [mm] f^i(v)=f^{i-1}(\lambda*v)=...=\lambda^i*v
[/mm]
und das wars dann auch.
ist das so formal richtig aufgeschrieben?
wo ich etwas bedenken habe ist folgende stelle:
[mm] \summe(a_i f^i)(v)=\summe a_i f^i(v)
[/mm]
intuitiv ist das klar, nur wie kann man das genau begründen, dass ich das (v) reinziehen darf bzw das nur das f einfluss auf das v hat?
oder kann man irgendwie zeigen aus [mm] f^i(v)=\lambda^i*v [/mm] sowas folgern wie [mm] f^i=\lambda^i
[/mm]
irgendwie scheint mir das ganze nicht so foramal richtig aufgeschrieben und wenn doch, könnte ich es nicht wirklihc begründen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 09.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> stimmt, dass (v) steht ja nicht in der klammer :)
>
> hab das jetzt mal so versucht:
>
> [mm]q(f)(v)=\summe(a_i f^i)(v)=\summe a_i f^i(v)[/mm] =(BEM) [mm]\summe a_i\lambda^i*v=\summe (a_i*\lambda^i)*v[/mm]
>
>
> BEM: [mm]f^i(v)=f^{i-1}(\lambda*v)=...=\lambda^i*v[/mm]
>
> und das wars dann auch.
>
> ist das so formal richtig aufgeschrieben?
Ja.
> wo ich etwas bedenken habe ist folgende stelle:
>
> [mm]\summe(a_i f^i)(v)=\summe a_i f^i(v)[/mm]
>
> intuitiv ist das klar, nur wie kann man das genau
> begründen, dass ich das (v) reinziehen darf bzw das nur das
> f einfluss auf das v hat?
Das liegt daran, dass die Endomorphismen von $V$ einen $K$-Vektorraum bilden. Wenn du dir jetzt anschaust, wie die Skalarmultiplikation dort definiert ist, dann siehst du sofort dass [mm] $(a_i f^i)(v) [/mm] = [mm] a_i (f^i)(v) [/mm] = [mm] a_i f^i(v)$ [/mm] ist.
> oder kann man irgendwie zeigen aus [mm]f^i(v)=\lambda^i*v[/mm] sowas
> folgern wie [mm]f^i=\lambda^i[/mm]
Nein, kann man nicht. Wenn schon [mm] $f^i [/mm] = [mm] \lambda^i id_V$, [/mm] aber selbst das gilt nur dann, wenn bereits $f = [mm] \lambda id_V$ [/mm] ist. Und das ist normalerweise nicht der Fall :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:30 Do 10.05.2007 | | Autor: | AriR |
ja genau jetzt sehe ich es auch wieder :)
also warum jetzt [mm] (a_i*f^i)(v)=a_i*(f^i)(v) [/mm] ist
das [mm] (f^i)(v)=f^i(v) [/mm] ist, ist doch genau aus grund so, dass zB [mm] (2^3)=2^3 [/mm] oder hat die klammer um [mm] f^i [/mm] irgendwas zu bedeuten? das ist doch nur übergeblieben weil man das [mm] a_i [/mm] da vorher noch mit drin hatte oder?
vielen vielen dank schonmal für deine hilfe felix :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Do 10.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> ja genau jetzt sehe ich es auch wieder :)
>
> also warum jetzt [mm](a_i*f^i)(v)=a_i*(f^i)(v)[/mm] ist
>
> das [mm](f^i)(v)=f^i(v)[/mm] ist, ist doch genau aus grund so, dass
> zB [mm](2^3)=2^3[/mm] oder hat die klammer um [mm]f^i[/mm] irgendwas zu
> bedeuten? das ist doch nur übergeblieben weil man das [mm]a_i[/mm]
> da vorher noch mit drin hatte oder?
Die hat nix zu bedeuten, man kann sie einmal als Rest andeuten der von dem [mm] $a_i$ [/mm] Ausklammern uebrigbleibt, und den man dann weglaesst...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Do 10.05.2007 | | Autor: | AriR |
vielen dank felix, warst wie immer eine super kompetente hilfe :)
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