Polynome und Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr,
ich hoffe ohr könnt mir helfen:
a)
Ich habe Polynome Pi(x) = [mm] x^i [/mm] und qi(x) [mm] \summe_{k=0}^{i} x^k
[/mm] für i=0, ....., n in R<= n [x].
Und ich soll nun zeiegn, dass (pi) i=0, ...., n und (qi) i=0,.....,n jeweils eine Basis von R<= n [x] bildet. Und dann muss ich noch sagen welche Dimension dieser Raum hat.
b) Wenn V ein Vektorraum über R und [mm] \vec v1 [/mm]....[mm] \vec vn [/mm] Vektoren in V. Soll ich zeigen dass V1 = span [mm] \vec v1 [/mm]....[mm] \vec vn [/mm] ein Teilraum von V ist.
Ich weis bei beiden Aufgaben auch nach ewigem Kopfzerbrechen keine Lösung, kann mir jemand helfen.
Danke schon im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo nach Hobbingen 
Ich kann vllt. mit ein paar Tipps dienen:
zu (a)
Ich schreib erstmal "sauber" auf, was du gegeben hast:
Gegeben sind Polynome [mm] $p_i,q_i\in\IR[x]$ [/mm] mit [mm] $grad(p_i),grad(q_i)\le [/mm] n$ für $i=0,....,n$
wobei [mm] $p_i(x):=x^{i}$ [/mm] und [mm] $q_i(x):=\sum\limits_{k=0}^{i}x^k$ [/mm] definiert sind.
Nun würde ich mir zuallerst mal die Menge der [mm] $p_i$ [/mm] und die Menge der [mm] $q_i$ [/mm] aufschreiben, damit ich überhaupt weiß, woran ich bin und wie die Dinger überhaupt aussehen.
Nennen wir $B$ die Menge der [mm] $p_i$, [/mm] also [mm] $B=\{1,x,x^2,....,x^n\}$
[/mm]
denn [mm] $p_0(x)=x^0=1, p_1(x)=x^1=x,...,p_n(x)=x^n$
[/mm]
und $C$ die Menge der [mm] $q_i$, [/mm] also [mm] $C=\{.....\}$
[/mm]
[mm] \red{1.Frage:} [/mm] Wie sieht $C$ aus?
Schreib dir mal für $i=1,2,3$ die ersten [mm] $q_i$ [/mm] hin
Wenn du das hast, sollst du zum einen zeigen, dass $B$ und $C$ eine Basis des [mm] \IR[x] [/mm] der reellen Polynome mit [mm] Grad\le [/mm] n bilden.
Dazu musst du zweierlei zeigen:
(1) Jedes beliebige reelle Polynom mit [mm] Grad\le [/mm] n ( wie sieht son allg. Teil aus?) lässt sich als Linearkombination der Elemente (Vektoren) aus $B$ bzw. $C$ darstellen
(2) Die Vektoren in $B$ bzw. $C$ sind linear unabhängig.
[mm] \red{2.Frage}: [/mm] Wie zeigt man das? Welchen Ansatz würdest du wählen, um das zu zeigen?
Bzgl. $B$ sollte das nicht allzu schwierig sein, bzg. $C$ ist es etwas mehr Rechenaufwand...
Wenn du gezeigt hast, dass $B$ bzw. $C$ eine Basis ist, was kannst du dann über die Dimension sagen?
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zu(b)
Gegeben ist hier ein VR $V$ und eine Menge von Vektoren [mm] $v_1,....v_n$ [/mm] mit [mm] $v_i\in [/mm] V$
[mm] $V_1$ [/mm] sei der Spann der [mm] $v_i$
[/mm]
Nun sollst du zeigen, dass [mm] $V_1$ [/mm] ein UVR von $V$ ist
Da gibt's doch drei Dinge zu zeigen:
(1) [mm] $0\in V_1$
[/mm]
(2) Für alle [mm] $x,y\in V_1$ [/mm] gilt: [mm] $x+y\in V_1$
[/mm]
(3) Für alle [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] und alle [mm] $x\in V_1$ [/mm] gilt: [mm] $\alpha\cdot{}x\in V_1$
[/mm]
bei (1) musst du also den Nullvektor aus den [mm] $v_1$ [/mm] linear kombinieren
bei (2) nimm dir 2 beliebige $x$ und $y$ [mm] $\in V_1$ [/mm] her und zeige, dass dann gefälligst auch die Summe $x+y$ in [mm] $V_1$ [/mm] ist, sich also linear aus den [mm] $v_i$ [/mm] kombinieren lässt
bei (3) ganz ähnlich
Versuch mal mit diesen Hinweisen, wie weit du kommst.
Du kannst ja gerne Teilergebnisse posten, oder wenn du weitere Fragen hast, nur zu...
Lieben Gruß
schachuzipus
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Hallo, erstmal danke dür die Antwort.
a) Ich habe jetzt für [mm] C={1+x+x^2+....+xn}
[/mm]
Danach habe ich alles irgendwie nicht verstanden, ich weiß immer nicht wie ich Dinge allgemein zeige.
b) Auch hier weis ich leider garnich wie ich bei
bei (1) musst du also den Nullvektor aus den $ [mm] v_1 [/mm] $ linear kombinieren
bei (2) nimm dir 2 beliebige $ x $ und $ y $ $ [mm] \in V_1 [/mm] $ her und zeige, dass dann gefälligst auch die Summe $ x+y $ in $ [mm] V_1 [/mm] $ ist, sich also linear aus den $ [mm] v_i [/mm] $ kombinieren lässt
bei (3) ganz ähnlich
ansetzten muss.
Ein par kleine Tipps wären super.
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Hallo nochmal,
> Hallo, erstmal danke dür die Antwort.
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> a) Ich habe jetzt für [mm]C={1+x+x^2+....+xn}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
du hast doch für [mm] q_0(x)=\sum\limits_{k=0}^0x^k=x^0=1
[/mm]
für [mm] q_1(x)=\sum\limits_{k=0}^1x^k=x^0+x^1=1+x
[/mm]
für [mm] q_2(x)=\sum\limits_{k=0}^2x^k=x^0+x^1+x^2=1+x+x^2
[/mm]
[mm] \vdots{}
[/mm]
für [mm] q_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nx^k=1+x+x^2+x^3+...+x^n
[/mm]
Also [mm] C=\{1,1+x,1+x+x^2,1+x+x^2+x^3,.....,1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^n\}
[/mm]
> Danach habe ich alles irgendwie nicht verstanden, ich weiß
> immer nicht wie ich Dinge allgemein zeige.
Wie sieht ein allgemeines reelles Polynom höchstens n-ten Grades aus?
Doch [mm] f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n
[/mm]
Das musst du nun versuchen, als LK der [mm] p_i [/mm] bzw der [mm] q_i [/mm] darzustellen
> b) Auch hier weis ich leider garnich wie ich bei
>
> bei (1) musst du also den Nullvektor aus den [mm]v_1[/mm] linear
> kombinieren
>
> bei (2) nimm dir 2 beliebige [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] [mm]\in V_1[/mm] her und zeige,
> dass dann gefälligst auch die Summe [mm]x+y[/mm] in [mm]V_1[/mm] ist, sich
> also linear aus den [mm]v_i[/mm] kombinieren lässt
>
> bei (3) ganz ähnlich
>
> ansetzten muss.
>
> Ein par kleine Tipps wären super.
na, zu (2).
Was bedeutet denn, dass x und y aus dem Spann der [mm] v_i [/mm] sind?
Dass sie sich darstellen lassen als LK der [mm] v_i,
[/mm]
also [mm] x=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+....+\lambda_nv_n
[/mm]
und [mm] y=\nu_1v_1+\nu_2v_2+....+\nu_nv_n
[/mm]
Dann ist x+y=....
Wie lassen sich dann die Koeffizienten der LK von x+y darstellen?
Geh's mal an....
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:38 Di 21.08.2007 | | Autor: | hobbitmausi |
Ich verstehe immer alles was du sagst aber sitzte im Moment total auf dem Schlauch, fange schon an an meiner Studienwahl zu zweifel :)
Kannst du mir irgendwie weiter unterstützend entgegenkommen.
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Hallo nochmal,
nun, ich mache mal bei der (b) Punkt(2) sauber fertig, dann siehst du das Schema und machst (1) und (3) mal selbst vor, ok?
Also ganz formal.
zz.: [mm] $\forall x,y\in V_1$ [/mm] : [mm] $x+y\in V_1$
[/mm]
Bew.: Seien [mm] $x,y\in V_1$
[/mm]
[mm] \Rightarrow $\exists \lambda_i,\mu_i\in\IR$ [/mm] : [mm] $x=\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_i\cdot{}v_i)\wedge y=\sum\limits_{i=1}^n(\mu_i\cdot{}v_i)$
[/mm]
(ausgeschrieben: [mm] x=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+...+\lambda_nv_n [/mm] und [mm] y=\mu_1v_1+\mu_2v_2+....+\mu_nv_n)
[/mm]
Dann ist [mm] x+y=\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_i\cdot{}v_i)+\sum\limits_{i=1}^n(\mu_i\cdot{}v_i)=\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_i\cdot{}v_i+\mu_i\cdot{}v_i)=\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_i+\mu_i)\cdot{}v_i
[/mm]
Und das ist offensichtlich [mm] \in V_1, [/mm] also dem Spann der [mm] v_i, [/mm] denn [mm] \lambda_i+\mu_i [/mm] ist [mm] \in\IR [/mm] für alle i=1,....,n
So nun versuch du's mal weiter...
LG
schachuzipus
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Ich glaube das schaffe ich so was muss ich denn hier machen
"musst du also den Nullvektor aus den $ [mm] v_1 [/mm] $ linear kombinieren"
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Hi,
> Ich glaube das schaffe ich so was muss ich denn hier machen
> "musst du also den Nullvektor aus den [mm]v_1[/mm] linear
> kombinieren" ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
genau, und das heißt, zz ist: [mm] $\exists \lambda_1,...,\lambda_n\in\IR$ [/mm] : [mm] $0=\sum\limits_{i=1}^n(\lambda_i\cdot{}v_i)$
[/mm]
Na, welche [mm] \lambda [/mm] 's kann man da nehmen.....
schachuzipus
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Für [mm] \lambda [/mm] = 0 oder?
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Hallo,
jo, für [mm] \lambda_1=\lambda_2=....=\lambda_n=0
[/mm]
Vllt eine Bem. dazu:
Falls die [mm] v_i [/mm] linear unabhängig sind, lässt sich ja nach Definition der linearen Unabh. der Nullvektor nur so trivial wie oben linear kombinieren.
Falls die [mm] v_i [/mm] linear abhängig sind, so gibt es zwar (auch) eine nicht-triviale LK des Nullvektors, aber man kann ihn natürlich auch trivial linear kombinieren
Also tun es in jedem Falle die [mm] \lambda_i=0
[/mm]
(es war ja nur nach deren Existenz gefragt )
Gruß
schachuzipus
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Ich will dich nicht absolut nerven, also wenn du keine Lust mehr hast einfach ignorieren, ich nehme aber jeden hilfe dankend and
b) ist mir nun klar geworden
aber wie muss ich das jetzt zusammenfassend für a) machen
ahso und wenns net sooo schwer ist, wie kann ich lineare unabhängigkeit von
f1,f2,f3 [mm] \in C^0 [/mm] ([0,1]) f1(x) = sin(x) f2(x)= cos (x) f3 [mm] (x)=e^x
[/mm]
ich hab schon die obere und untere grenze des Intervalls versucht.
Aber wirklich nur noch wenn du Zeit unf Lust hast, ich frage mich inzwischen ob solche Aufgabe für einen Vorkurs nach dem Abi normal sind.
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>wie kann ich lineare
> unabhängigkeit von
> f1,f2,f3 [mm]\in C^0[/mm] ([0,1]) f1(x) = sin(x) f2(x)= cos (x) f3
> [mm](x)=e^x[/mm]
> ich hab schon die obere und untere grenze des Intervalls
> versucht.
>
> ich
> frage mich inzwischen ob solche Aufgabe für einen Vorkurs
> nach dem Abi normal sind.
Hallo,
Du hast drei Vektoren [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] aus dem Vektorraum der auf dem Intervall [0,1] stetigen Funktionen, und es ist die Frage nach der linearen Unabhängigkeit gestellt.
Was bedeutet lineare Unabhängigkeit? Daraus, daß [mm] a*f_1+b*f_2+c*f_3=Nullfunktion [/mm] ist, folgt a=b=c=0.
Schauen wir mal nach, ob das stimmt:
Es seien a,b,c [mm] \in \IR, [/mm] und es sei
[mm] a*f_1+b*f_2+c*f_3=Nullfunktion.
[/mm]
(Sicher fragst Du Dich, warum ich "Nullfunktion" schreibe, und nicht eine Ziffer. Weil da nicht die Ziffer Null steht, sondern die Funktion, welche alles auf die 0 abbildet, das neutrale Element des Vektorraumes. Denn links haben wir ja eine Summe von Funktionen, da muß rechts dann auch eine Funktion stehen.)
Was bedeutet das jetzt?
Für jedes [mm] x\in [/mm] [0,1] gilt
[mm] a*f_1(x)+b*f_2(x)+c*f_3(x)=Nullfunktion(x)=0
[/mm]
<==> a*sin(x) + b*cos(x) + [mm] c*e^x=0.
[/mm]
Das muß für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] gelten, also insbesondere für x=0, x=1 und x= [mm] \bruch{\pi}{4}.
[/mm]
Also muß folgendes Gleichungssystem eine Lösung haben:
a*sin(0) + b*cos(0) + [mm] c*e^0=0
[/mm]
a*sin(1) + b*cos(1) + [mm] c*e^1=0
[/mm]
[mm] a*sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + [mm] b*cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] + [mm] c*e^{\bruch{\pi}{4}}=0
[/mm]
<==>
b + c=0
a*sin(1) + b*cos(1) + [mm] c*e^1=0
[/mm]
a* [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}+ b*\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] + [mm] c*e^{\bruch{\pi}{4}}=0
[/mm]
Dieses Gleichungssystem kannst Du auflösen, und Du erhältst als einzige Lösung a=b=c=0.
Daher sind [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] linear unabhängig.
> ich
> frage mich inzwischen ob solche Aufgabe für einen Vorkurs
> nach dem Abi normal sind.
Haben schon irgendwo die Vorkurse begonnen???
Ich kann Dich etwas beruhigen:
Du mußt diese Aufgabe jetzt nicht aus dem ff können. Das kommt nochmal in der linearen Algebra.
Ich glaube, daß Du an dieser Aufgabe ein bißchen etwas v. Abstraktionsniveau in der Uni ahnen und Dich darauf einlassen sollst.
Wichtig ist:
- jedes Element eines Vektorraumes ist ein Vektor. Das hat mit Pfeilen nichts zu tun. Pfeile sind ein Beispiel für Vektoren.
- die Definition für lineare Unabhängigkeit. Sie hat mit der Anschauung hier nichts mehr zu tun.
- Lineare Unabhängigkeit von irgendwelchen Vektoren bedeutet, daß daraus, daß eine Linearkombination dieser Vektoren die Null des Vektorraumes ergibt, automatisch folgt, daß alle Koeffizienten =0 sind.
Gruß v. Angela
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> aber wie muss ich das jetzt zusammenfassend für a) machen
Hallo,
zunächst zeigst Du die lineare Unabhängigkeit von [mm] (1,x,x^2,...,x^n),
[/mm]
indem Du zeigst, daß aus [mm] \lambda_0*1+\lambda_1*x+\lambda_2*x^2+...+\lambda_n*x^n=0 [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_0=\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0 [/mm] ist.
Danach mußt Du zeigen, daß [mm] (1,x,x^2,...,x^n) [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] \IR_{\le n}[x] [/mm] ist.
Du nimmst Dir ein beliebiges p [mm] \in \IR_{\le n}[x] [/mm] und zeigst, daß Du es als Linearkombination von [mm] (1,x,x^2,...,x^n) [/mm] schreiben kannst.
Linear unabhängig + Erzeugendensystem =Basis.
Für Deine zweite Familie von Vektoren, für (1,1+x, [mm] 1+x+x^2,..., 1+x+x^2+...+x^n) [/mm] kannst Du es genauso machen.
Gruß v. Angela
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