Polynome von höchstens 3. Grad < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Do 13.07.2006 | | Autor: | Miala |
| Aufgabe | Sei F: P3 -> P3, f->g
mit f(x) = ax³+bx²+ cx+d,
g(x)=3ax²+2bx+c
a,b,c,d element R;
Zeigen Sie, dass für alle fi, fj, f element P3 und k (element R) gilt
1. F(fi+fj)=F(fi)+F(fj)
2. F(z*f)= z*F(f)
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle,
hoffentlich weiß hier jemand mehr bescheid als ich, denn ich kann überhaupt nicht sagen, ob mein Ansatz richtig ist.
Grundsätzlich weiß ich gar nicht, wie F aufzufassen ist. Ist F eine Funktion? Wenn ja, dann wird ja dem Polynom f seine Ableitung g zugeordnet. Wie gehe ich am besten vor? hat jemand einen Tipp für mich?
Ich ich weiß nicht, wie ich die fi und fj miteinander addieren soll. Setze ich hier gi und gj ein?
Ich bin wirklich dankbar für jede Hilfestellung!
Viele Grüße,
Mia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Do 13.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Miala,
das Vorgehen ist eigentlich recht straight-forward.
Für 1. nimmt man z.B. zwei beliebige Polynome [mm] f_i(x)=a_ix^3+b_ix^2+c_ix+d_i [/mm] und [mm] f_j(x)=a_jx^3+b_jx^2+c_jx+d_j.
[/mm]
Dann ist ja [mm] F(f_i)(x)=3a_ix^2+2b_ix+c_i [/mm] und entsprechend für [mm] f_j.
[/mm]
[mm] F(f_i+f_j) [/mm] ist da etwas mehr Rechenaufwand. Die beiden Polynome zu addieren sollte ja kein Problem sein. Achte nur darauf, dass Du auch sauber alle x-Potenzen zusammensortierst. Dann müsstest Du darauf wieder die Abbildungsvorschrift von F anwenden. dazu mach dir doch erst mal klar, was bei Deinem Summenpolynom eigentlich a,b,c und d sind.
O.K., dann kann man ja einfach beide Seiten der gegebenen Gleichung ausrechnen und vergleichen, ob dasselbe rauskommt.
Versuchs doch einfach mal!
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 13.07.2006 | | Autor: | Miala |
Hallo Piet!
Vielen Dank für deine Hilfe, ich konnte das gefragte nun zeigen. Ich verstehe den Vektorraum der Polynome noch nicht so sehr. Die Koeffizienten a,b,c,d verstehe ich nur in Hinsicht auf reelle Funktionen.
Kann man die Polynome denn auch in Komponenten ausdrücken bezüglich einer Basis? vielleicht sind ist <1,x,x²,x³> hier in P3 die Basis. Kann man den Vektorraum der Polynome auch auf den geometrischen Vektorraum übertragen? geht so etwas?
Hoffentlich kannst du mir nochmal kurz antworten :)
Viele Grüße,
Miala
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> Hallo Piet!
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> Vielen Dank für deine Hilfe, ich konnte das gefragte nun
> zeigen. Ich verstehe den Vektorraum der Polynome noch nicht
> so sehr. Die Koeffizienten a,b,c,d verstehe ich nur in
> Hinsicht auf reelle Funktionen.
> Kann man die Polynome denn auch in Komponenten ausdrücken
> bezüglich einer Basis? vielleicht sind ist <1,x,x²,x³> hier
> in P3 die Basis.
Das wäre eine Basis des Vektorraums der Polynome höchstens Grad 3, vollkommen richtig, da sich alle Polynome des Vektorraumes durch diese 4 Basiselemente darstellen lassen, und die 4 noch zueinander linear unabhängig sind... 
> Kann man den Vektorraum der Polynome auch
> auf den geometrischen Vektorraum übertragen? geht so
> etwas?
> Hoffentlich kannst du mir nochmal kurz antworten :)
> Viele Grüße,
> Miala
Verstehe nicht ganz, wie du das mit "geometrisch" meinst. In der Schule hatten wir Polynome mal als VEktoren aufgefasst, mit den Koeffizienten der Polynome als EInträge der Vektoren. Z.b. wäre der Vektor zum Polynom [mm] 3x^{3} [/mm] + [mm] 4x^{2} [/mm] + 6 der folgende: [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Meinst du sowas? hoffe, ich konnte dir helfen...
Gruß, Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 13.07.2006 | | Autor: | Miala |
Vielen Dank Fabian! :) genau das wollte ich wissen!
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