Polynomlösungen einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Do 17.08.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Welche Polylösungen besitzt die folgende DGL:
y' = (1-x+x²) + (1-2x)y + y²
(Anleitung: Man überlege sich zunächst, dass der Grad eines Lösungspolys y höchstens 1 sein kann!)
Geht durch jeden Anfangswert [mm] (x_0,y_0) [/mm] \ in R² eine Polylösung der angegebenen DGL ? |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, da mir noch jeder Ansatz fehlt...
wenn der grad eines lösungspolys nur 1 sein kann, dann müsste es doch so ein ausdruck sein: ax+b ,oder?
aber woran erkennt man das?
und muss man da über potenzreihen versuchen ranzukommn...?
wär echt super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet *verzweifel*
viele grüße
riley
ps: hier schon gefragt: ![[]](/images/popup.gif) http://www.onlinemathe.de/index.php
nur leider konnte mir niemand weiterhelfen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Do 17.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Guck dir doch mal den inhomogenen (also ohne y) Teil an, und dann über leg, was passiert , wenn du y mehr als linear nimmst. was soll denn aus all den höheren potenzen werden?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 17.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi leduart,
danke für deine antwort. also (1-x-x²) ist der inhomogene teil und wenn ich y mehr als linear nehm, dann bekomm ich noch höhere potenzen als quadrat, und deshalb geht das nicht?
muss ich jetzt ganz allgemein (ax+b) = y einsetzen?
aber mir ist das noch nicht klar, wenn ein lösungspoly die form y=ax+b hat, dann ist doch y' = a, einfach nur eine konstante'?
viele grüße
riley
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Hallo riley,
> Hi leduart,
> danke für deine antwort. also (1-x-x²) ist der inhomogene
> teil und wenn ich y mehr als linear nehm, dann bekomm ich
> noch höhere potenzen als quadrat, und deshalb geht das
> nicht?
nimm zB. an, y sei ein polynom 2. grades. Dann steht in der Gleichung links ein polyn. ersten grades. rechts entstehen durch den term [mm] $y^2$ [/mm] Terme vierten grades. und diese können sich unmöglich wegheben, da sonst nur Terme niederen grades vorkommen (-> eben auch die inhomogenen terme!).
>
> muss ich jetzt ganz allgemein (ax+b) = y einsetzen?
yep.
> aber mir ist das noch nicht klar, wenn ein lösungspoly die
> form y=ax+b hat, dann ist doch y' = a, einfach nur eine
> konstante'?
Natürlich!
> viele grüße
> riley
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 17.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
Danke für deine erklärung. d.h. ziel ist es, dass sich diese terme wegheben?
Also ich hab das versucht, y=ax+b und y'=a einzusetzen:
a= (1-x+x²) + (1-2x)(ax+b)+(ax+b)²
d.h. 0 = (1-2a+a²)x² + (-1+a-2b+2ab)x + 1+b+b²-a
hm, stimmt das so?
und wie komm ich nun weiter?
viele grüße
riley
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Hallo riley,
> Danke für deine erklärung. d.h. ziel ist es, dass sich
> diese terme wegheben?
ja, sonst kann ja die gleichung nicht gelten (Stichwort: Koeffizientenvergleich).
> Also ich hab das versucht, y=ax+b und y'=a einzusetzen:
>
> a= (1-x+x²) + (1-2x)(ax+b)+(ax+b)²
>
> d.h. 0 = (1-2a+a²)x² + (-1+a-2b+2ab)x + 1+b+b²-a
>
> hm, stimmt das so?
wenn du richtig eingesetzt hast, ja...  sieht aber gut aus.
> und wie komm ich nun weiter?
>
> viele grüße
Wieder:Koeffizientenvergleich! alle koeffizienten deines polynoms zweiten grades müssen 0 werden. Du musst also schauen, für welche a und b-Werte das erfüllt ist.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Do 17.08.2006 | | Autor: | Riley |
hi matthias!
dumme frage, aber welche beiden polys muss ich eigentlich vergleichen *confused*
oder versteh ich das richtig, dass ich die koeffizienten von y' = 0x² + 0x + a
mit denen von y'= (...)x² + (...) x + 1+b+b² vergleichen muss, wobei 1+b+b²= a ?
dann bekomm ich a=1 und b= 0 oder b=-1, d.h.
die lösungspolys wären
y=x oder y = x-1 ??
und heißt das, dass dann auch durch jeden anfangswert [mm] (x_0,y_0) [/mm] eine lösung geht?
viele grüße
riley
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> hi matthias!
>
> dumme frage, aber welche beiden polys muss ich eigentlich
> vergleichen *confused*
> oder versteh ich das richtig, dass ich die koeffizienten
> von y' = 0x² + 0x + a
> mit denen von y'= (...)x² + (...) x + 1+b+b² vergleichen
> muss, wobei 1+b+b²= a ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> dann bekomm ich a=1 und b= 0 oder b=-1, d.h.
>
> die lösungspolys wären
> y=x oder y = x-1 ??
mach doch einfach die probe!
> und heißt das, dass dann auch durch jeden anfangswert
> [mm](x_0,y_0)[/mm] eine lösung geht?
denk mal scharf nach....
> viele grüße
> riley
>
Gruß
Matthias
>
>
>
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 17.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
vielen dank für deine hilfe, die probe hat funktioniert!! =)
kannst du mir noch sagen, ob ich richtig "scharf nachgedacht" hab?
weil ich kenn das mit dem anfwertproblem nur beim integrieren, dass man dann diese integrationskonstante bekommt, also würd ich sagen es geht für jeden anfangswert?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Fr 18.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo riley
Was kriegst du für den Anfangswert (5,6) oder (0,7)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 18.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
also irgendwie passt das nicht, wenn ich y=x hab, dann ist y(5) = 5, und für y(x) = x-1 gilt y(5)= 4 ??
oder wo hast du gemeint soll ich die anfangswerte einsetzen?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Fr 18.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Die Frage war doch :geht durch JEDE Anfangsbed, (x0,y0) eine solche Lösung. Du hast geschrieben Ja! Ich hab versucht, ein (x0,y0) hinzuschreiben und du sollst SELBST überlegen, ob dadurch nesolche poly-Lösung geht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Fr 18.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
achso, ok, d.h. die richtige antwort ist nein, es geht eben nicht durch jeden punkt eine lösung... und das begründet man mit so einem gegenbeispiel?
viele grüße
riley
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Hallo Riley.
Um eine Aussage zu widerlegen, reicht es, ein einziges Gegenbeispiel anzugeben. Die Antwort auf die Frage: "Geht durch jedes Paar von Anfangswerten eine Lösung" muß dann schon eindeutig "Nein" heißen.
Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 So 20.08.2006 | | Autor: | Riley |
hi christian!
okay, dankeschön, dann hab ich die aufgabe jetzt =)
viele grüße
riley
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