Polynomring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Do 26.10.2006 | | Autor: | ron |
| Aufgabe | Frage: Sei R ein nullteilerfreier Ring mit 1-Element und A ein Primideal in R, dann ist R/A ein Integritätsbereich.
Ist A ein maximales Ideal in R, dann ist R/A ein Körper
Was ist mit diesen Aussagen für [mm] \IK [/mm] [x] ? |
Hallo,
bisher hatte ich immer gedacht das der Polynomring das Standardbeispiel für einen nullteilerfreien kommutative Integritätsbereich mit 1-Element ist, der kein Körper ist. Diese Aussage begründet sich doch auf der fehlenden Inversenbildung bzgl. Multiplikation in diesem Ring?!
Jetzt ist dieser spezielle Ring der Polynome aber auch ein euklidischer Ring, d.h. es existiert eine Gradfunktion [mm] \delta [/mm] : R ohne 0 [mm] \rightarrow \IN [/mm] mit [mm] \delta(0) [/mm] = 0 und man kann den Euklidischen Algorithmus definieren bzw. durchführen.
Jetzt habe ich die Aussage gefunden, das euklidische Ringe auch Hauptidealringe sein.
In HI-Ringen gilt aber:
p prim [mm] \gdw [/mm] p irreduziebel [mm] \gdw [/mm] (p) Primideal [mm] \gdw [/mm] (p) maximales Ideal
Das ist doch ein Widerspruch, oder? Der Polynomring ist euklidischer Ring also dann HI-Ring?! Es ex. Primelemnte also auch maximale Ideale (s.o.), dann aber müßte R/A Körper sein und das ist für den Polynomring auf keinen Fall erfüllt?!
Die Umkehrung kenne ich:
betrachte den Ring [mm] \IZ [/mm] [ [mm] \wurzel{-5}] [/mm] hier kann gezeigt werden, dass das Ideal
(3, 2+ [mm] \wurzel{-5}) [/mm] nicht durch ein Element erzeugt werden kann, folglich ist dieser Ring kein Hauptidealring also auch kein euklidischer Ring.
Die Aussagen/Bemerkungen mit ?! am Ende stellen die Stolpersteine für mich da, wo ich keine Ordnung hineinbekomme.
Wäre für eine "Aufklärung" dankbar.
Gruß
Ron
|
|
| |
|
Grüsse!
Im Prinzip stimmt das alles soweit bis auf einen kleinen Stolperstein: das Nullideal $(0)$.
Das Nullideal ist prim genau dann, wenn der Ring Integritätsbereich ist (klar) und maximal genau dann, wenn der Ring ein Körper ist.
Die Äquivalenz $(p) [mm] \mbox{ prim} \Leftrightarrow [/mm] (p) [mm] \mbox{ maximal}$ [/mm] gilt in Hauptidealringen allerdings nur für $p [mm] \not= [/mm] 0$. Und das rettet den Polynomring davor, ein Körper zu sein. Ist er nämlich wirklich nicht. 
Übrigens ist der Ring [mm] $\IZ$ [/mm] auch Integritätsbereich und ein Hauptidealring da euklidisch, aber kein Körper... auch da ist jedes $(p)$ ein Primideal wenn $p$ eine Primzahl ist und auch maximal, aber das Nullideal ist ein Primideal, welches nicht maximal ist.
Alles klar?
Schöne Grüsse,
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 26.10.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
tja da habe ich mal die Null und Ihre "besondere Kraft" unterschätzt! Jetzt bin ich mir wieder sicher, danke.
Gerade in der heutigen Zeit sollte doch die Kraft von 0 und 1 immer präsent sein!
Ron
|
|
|
|
