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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:53 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper.
Zeigen sie, durch vollständige Induktion nach grad(g) , dass zu gegebenen g,h [mm] \in [/mm] K[x] \ {0} Polynome r,s [mm] \in [/mm] K[x] existieren , so dass g=s*h+r und grad(r)<grad(h) |
Hallo Leute,
ich habe schon immer schwierigkeiten mit Induktionen und finde hier nicht so recht den richtigen Ansatz.
Muss ich nun mit grad(g) = 0 oder mit grad(g) = 1 anfangen.
Bei grad(g) = 0 würde ich dann sagen, dass grad(h) auch 0 sein muss und somit beides konstante Fkt. und da K ein Körper ist existiert ein s mit g=s*h und r ist somit gleich 0.
Für grad(g) = 1 würde ich sagen, dass uns die Polynomdivision mit rest ja genau unser s und r liefert.
Wie ich nun aber auch den schritt von n nach n+1 machen soll ich mir noch etwas rätselhaft.
Danke schonmal für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo,
Also wie ist der Grad einer Funktion definiert?
ja genau:
Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und sei p ein Polynom aus [mm] \IK [/mm] [x] mit [mm] p=a_n x^n [/mm] + [mm] a_{n-1} x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_n \not= [/mm] 0, dann heißt n der Grad des Polynoms oder kurz grad(p) = deg(p) = n. Das Nullpolynom hat den Grad - [mm] \infty [/mm] und die konstanten Polynome haben den Grad 0.
es gibt so etwas das nennt sich Gradformel:
dabei gilt für Polynome aus [mm] \IK [/mm] [x]
deg(p*q) = deg(p) + deg(q)
und deg(p+q) = max{(deg(p), deg(q))}
Mach dir anhand dessen deutlich das deg p = - [mm] \infty [/mm] wenn p=0! Nur dann macht das Rechnen mit der Gradformel Sinn.
Division mit Rest in [mm] \IK [/mm] [x] beschreibt man also folgendermaßen, bzw. deine Aufgabe bzw. Behauptung:
Seien p,q [mm] \in \IK [/mm] [x] , dann existieren [mm] \underline{eindeutig} \underline{bestimmte} [/mm] Polynome t,r [mm] \in \IK [/mm] [x] mit p = t q + r
wobei deg r < deg q und q [mm] \not= [/mm] 0.
Also was ist zu zeigen?
genau:
erst die Existenz von t,r die du mittels meiner Hilfe beweist
dann kommen wir zum Beweis der Eindeutigkeit und dann ist die Aufgabe fertig.
Zum Beweis der Existenz:
versuche eine Induktion über den Grad von p,
Den Induktionsanfang gebe ich dir vor den Induktionsschritt musst du dann selbst vollziehen.
dafür überlege was passiert wenn,
(IA) deg p = 0 --> deg q > 0
dann gilt doch p = 0 * q + p wobei t = 0 und r=q richtig?
aber welcher Fall kann noch einterten? deg q auch gleich 0, dann gilt aber p = k * q + o wobei dann schon folgt k=t und 0 = r
Nun kommen im Induktionsschritt von (n-1) nach (n) zwei Fälle zum Tragen
1. deg p < deg q --> p
es gilt offensichtlich p = 0 * q + p wobei t = 0 und r= p wie
oben im Induktionsanfang gezeigt.
2. deg p [mm] \ge [/mm] deg q
den zweiten Falle betrachtest {du} jetzt.
Betrachtung erfolgt mit:
[mm] p=a_n x^n [/mm] + [mm] a_{n-1} x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0
[/mm]
[mm] q=b_m x^m [/mm] + [mm] b_{m-1} x^{m-1} [/mm] + ... + [mm] b_1 [/mm] x + [mm] b_0
[/mm]
(Kommentar:
Das war vielleicht wage
was passiert mit [mm] a_N x^n [/mm] wenn du es duch [mm] b_m x^m [/mm] teilst?Und was ist das denn genau?
Kommentar Ende)
Zum Beweis der Eindeutigkeit:
nehmen wir mal an p=t*q + r
und p = k * q + s
was gilt für den deg (r) und deg(s)?
(k-t)q = r-s und jetzt werkeln vielleicht sogar mit deg  ?
Also, bin erst Sonntag wieder online um zu kontrollieren, aber bis dahin haben sich bestimmt schon andere Gefunden, die deine Frage beantworten.
Viel Erfolg!
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