Polynomring, Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 So 20.11.2011 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | Sei [mm] $\IR[X]$ [/mm] der Polynomring in der Variablen X über [mm] \IR [/mm] und b eine beliebige reelle Zahl. Betrachten Sie die folgenden Teilmengen von [mm] $\IR[X]$:
[/mm]
[mm] $V_{1}=\{f(X)\in\IR[X]|$ grad $f(X)\le 3, f(b)=0\}$,
[/mm]
[mm] $V_{2}=\{f(X)\in\IR[X]|$ grad $f(X)=5, f(b)=0\}$
[/mm]
(dabei legen wir grad [mm] $0=-\infty$ [/mm] fest).
Sind [mm] V_{1} [/mm] bzw. [mm] V_{2} [/mm] Untervektorräume von [mm] \IR[X]? [/mm] Begründen Sie Ihre Antwort. |
Diese Aufgabe bereitet mir etwas Kopfzerbrechen.
Mein erster Ansatz, sofern man von Ansatz sprechen kann, war zu zeigen, dass die VR-Axiome auch gelten, wenn ich Polynome einsetze. Ich hätte je nachdem wieviele ich brauche mit f(x), g(x), ... Polynome gewählt und die Axiome nachgewiesen.
Jetzt irritiert mich, dass nur von einem Ring die Rede ist, ich aber einen Körper bräuchte, also müsste der [mm] \IR[X] [/mm] Polynomring kommutativ sein, es müsste 1 als neutrales Element vorkommen und alle Polynome ungleich Null müssten Einheiten sein.
Nun steht aber in der Aufgabenstellung die Frage, ob es UVR von, nennen wir es mal, [mm] V=\IR[X] [/mm] sind. Dann kann ich wohl annehmen, dass [mm] \IR[X] [/mm] als vollwertiger Körper gelten darf. Also müsste ich zeigen, dass [mm] V_1 [/mm] bzw. [mm] V_2 [/mm] nicht leer sind, und sie abgeschlossen sind bzgl. Addition und Skalar-Multiplikation. Auf den ersten Blick, behaupte ich jetzt, dass es mir bei beiden gegeben scheint. Schließlich ändern beide Operationen nichts am Grad.
Revision#1: O.K., jetzt wo ich mal die Überlegungen geschrieben sehe, fällt doch auf, dass [mm] V_2 [/mm] bzgl. der Vektoraddition nicht abgeschlossen ist, da sich der Grad ja verändern kann, es könnte der höchstgradige Term rausfallen, und somit wäre ein Polynom vom Grad kleiner 5 die Folge.
Revision#2: Also dann dürfte [mm] V_1 [/mm] auch kein UVR sein, denn ich müsste für die Skalar-Multiplikation ja ein Polynom aus [mm] \IR[X] [/mm] wählen, vom Grad kleiner gleich 3, welches den Grad ja über 3 hinaus erhöhen könnte, wodurch [mm] V_1 [/mm] auch nicht abgeschlossen wäre, bzgl. der Skalarmultiplikation.
Revision#3: Es verwirrt mich etwas, ich gehe davon aus, dass sowohl als Vektor als auch als Skalare Polynome eingesetzt werden.
Revision#4: Ich gehe jetzt mal davon aus, dass die Skalar-Multiplikation den Grad eines Polynoms nicht verändert. Somit bleibt #1, die [mm] V_2 [/mm] den Status ein UVR zu sein abspricht. [mm] V_1 [/mm] hingegen erfüllt die Bedingungen für einen UVR.
Kann ich denn sagen, dass [mm] V_1 [/mm] nicht leer ist, weil [mm] $b\in\IR$ [/mm] mit [mm] $0=f(b)\in V_1$?[/mm]
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> Sei [mm]\IR[X][/mm] der Polynomring in der Variablen X über [mm]\IR[/mm] und
> b eine beliebige reelle Zahl. Betrachten Sie die folgenden
> Teilmengen von [mm]\IR[X][/mm]:
>
> [mm]V_{1}=\{f(X)\in\IR[X]|[/mm] grad [mm]f(X)\le 3, f(b)=0\}[/mm],
>
> [mm]V_{2}=\{f(X)\in\IR[X]|[/mm] grad [mm]f(X)=5, f(b)=0\}[/mm]
>
> (dabei legen wir grad [mm]0=-\infty[/mm] fest).
> Sind [mm]V_{1}[/mm] bzw. [mm]V_{2}[/mm] Untervektorräume von [mm]\IR[X]?[/mm]
> Begründen Sie Ihre Antwort.
Hallo,
ich versuche mal, eine Verwirrung aufzulösen, von der mir aber nicht ganz klar ist, ob sie sich inzwischen nicht selbst gelöst hat.
Also: was sind die Zutaten eines Vektorraumes?
1. Eine Menge V; deren Elemente sind die Vektoren
2. Ein Körper K; dessen Elemente sind die Skalare
3. Eine Addition innerhalb von V
4. Eine Multipliktion, welche Skalare mit Vektoren verknüpft und einen Vektor ergibt.
Die Menge V, die der Aufgabe zugrundeliegt, ist hier die Menge [mm] \IR[x], [/mm] die Polynome mit Koeffizienten aus [mm] \IR. [/mm] (Also: die Polynome sind hier die Vektoren.)
Zwar habt Ihr sicher gezeigt, daß diese mit der Addition und Mutiplikation von Polynomen einen Ring bilden - die Ringeigenschaft ist hier aber überhaupt nicht von Belang.
Es kommt darauf an, daß [mm] \IR[x] [/mm] mit der Addition von Polynomen eine abelsche Gruppe ist.
Polynome werden in dieser Aufgabe nicht multipliziert.
Der Körper K, der hier im Spiel ist, ist [mm] \IR [/mm] mit den wohlbekannten Verknüpfungen, also der hundsgewöhnlichen Addition und der Multiplikation.
Die Verknüpfung von Elementen aus [mm] \IR [/mm] und denen aus [mm] \IR[x] [/mm] funktioniert nun [mm] für\lambda \in \IR [/mm] so:
[mm] \lambda*(a_nx^n+...+a_1x^1+a_0):=\lambda a_nx^n+...+\lambda a_1x^1+\lambda a_0
[/mm]
> Revision#1: O.K., jetzt wo ich mal die Überlegungen
> geschrieben sehe, fällt doch auf, dass [mm]V_2[/mm] bzgl. der
> Vektoraddition nicht abgeschlossen ist, da sich der Grad ja
> verändern kann, es könnte der höchstgradige Term
> rausfallen, und somit wäre ein Polynom vom Grad kleiner 5
> die Folge.
Ja, genau.
> Revision#2: Also dann dürfte [mm]V_1[/mm] auch kein UVR sein, denn
> ich müsste für die Skalar-Multiplikation ja ein Polynom
> aus [mm]\IR[X][/mm] wählen,
s.o.: Du multiplizierst nur mit reelen Zahlen!
> vom Grad kleiner gleich 3, welches den
> Grad ja über 3 hinaus erhöhen könnte, wodurch [mm]V_1[/mm] auch
> nicht abgeschlossen wäre, bzgl. der Skalarmultiplikation.
> Revision#3: Es verwirrt mich etwas, ich gehe davon aus,
> dass sowohl als Vektor als auch als Skalare Polynome
> eingesetzt werden.
s.o.
> Revision#4: Ich gehe jetzt mal davon aus, dass die
> Skalar-Multiplikation den Grad eines Polynoms nicht
> verändert.
Richtig - es sei denn, man multipliziert mit 0.
> Somit bleibt #1, die [mm]V_2[/mm] den Status ein UVR zu
> sein abspricht. [mm]V_1[/mm] hingegen erfüllt die Bedingungen für
> einen UVR.
Ja.
> Kann ich denn sagen, dass [mm]V_1[/mm] nicht leer ist, weil [mm]b\in\IR[/mm]
> mit [mm]0=f(b)\in V_1[/mm]?
Nein. Du mußt ein konkretes Polynom angeben, welches in der Menge [mm] V_1 [/mm] ist.
Du kannst sagen: das Nullpolynom n(x):=0 ist in [mm] V_1, [/mm] denn es ist für [mm] b\in \IR \qquad [/mm] n(b)=0.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 So 20.11.2011 | | Autor: | davux |
Die Frage ganz am Ende meines ersten Beitrags war wohl ein Schnellschuss. :)
Danke dir, dass du Zeit hattest. Ich bin mit der Aufgabe noch nicht so ganz durch. Ich habe mir das einiges angelesen, bevorzugt im englischen. Also es gibt sogar eine Eigene Bezeichnung für derlei Vektorraum, habe ich auf einer Seite gesehen. Voraussetzung ist immer, dass der Grad kleiner gleich n ist, dann bilden sie einen Vektorraum. Zu diesem Verständnis führt ja auch die Aufgabe.
Wird bei der Skalarmultiplikation die 0 nicht ausgeschlossen? Nein, wird sie nicht.
O.K., also eine Frage lag mir irgendwie noch auf dem Herzen. Achso, das ist aber für meine Begriffe ziemlich weit ausgeholt, da wir die Begriffe bisher nicht durchgenommen haben. Am einfachsten ließe es sich doch beweisen, indem ich sage, dass zwischen [mm] V_1 [/mm] und [mm] \IR^4 [/mm] ein Isomorphismus besteht. Das wollte ich eigentlich dann im Tutorium erörtern.
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Hallo,
ich hab' Deinen vorhergehenden Beitrag mal auf "Mitteilung" gestellt, weil ich nicht so recht eine Frage, die hier und jetzt besprochen werden soll, gefunden habe.
Trotzdem eine Antwort:
daß [mm] V_1 [/mm] isomorph ist zum [mm] \IR^4 [/mm] stimmt, denn es sind beides VRe der Dimension 4.
Um die Isomorphie der Vektorräume zu zeigen, muß aber erstmal klar sein, daß die beiden Mengen Vektorräume sind. Das hättest Du für [mm] V_1 [/mm] also zu zeigen.
Allerdings ist mit der Isomorphie noch nicht gesagt, daß der [mm] V_1 [/mm] ein Unterraum des [mm] \IR^[x] [/mm] ist. Es spielt ja eine Rolle, daß [mm] V_1\subseteq \IR[x], [/mm] und daß die Verknüpfungen dieselben sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 20.11.2011 | | Autor: | davux |
Du sagtest, "Polynome werden in dieser Aufgabe nicht multipliziert". Darf ich daraus folgern, dass es soetwas wie "Skalar-Polynome" gibt?
Diese Eigenschaft, f(b)=0, wie könnte man diese Aussage ausdrücken? Oder überhaupt, wie lese ich mich da vernünftig, begründet durch? Ich probiere mal ein paar Sätze dazu zuschreiben.
Sei f(x) ein Polynom aus [mm] \IR[X].
[/mm]
Wäre das so korrekt oder ist f(x) eher ein Vektor oder doch 'nur' beides?
Analog dazu habe ich Schwierigkeiten n(x):=0 als Nullpolynom hinzunehmen, vermisse da wiederum die Vektorraum Begrifflichkeiten. Wenn das aber Synonym ist, dann bin ich vom Verständnis schon etwas weiter.
Warum ist in der Aufgabenstellung nur von X die Rede? Es dürfte ja zu x keinen Unterschied machen, also egal sein, wie man es schreibt.
Nee, also so ganz ist meine Verwirrung noch nicht beseitigt, auch wenn ich mit wenig Formalismus die Aufgabe zufriedenstellend lösen könnte. ;)
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> Du sagtest, "Polynome werden in dieser Aufgabe nicht
> multipliziert".
Hallo,
damit meinte ich, daß nicht Polynome miteinander multipliziert werden.
> Darf ich daraus folgern, dass es soetwas
> wie "Skalar-Polynome" gibt?
Ich weiß nicht, was Du damit meinst.
Dies: es ist f(X)=5 ein Polynom vom Grad 0.
>
> Diese Eigenschaft, f(b)=0, wie könnte man diese Aussage
> ausdrücken? Oder überhaupt, wie lese ich mich da
> vernünftig, begründet durch?
Schauen wir uns die Menge [mm] V_1 [/mm] an. Für ein beliebiges [mm] b\in \IR [/mm] wurde definiert
[mm] V_1:=\{f(X)\in \IR[X]|gradf(X)\le 3 und f(b)=0\}.
[/mm]
In [mm] V_1 [/mm] sind die Polynome, deren Grad höchstens =3 ist, und welche zusätzlich die Eigenschaft haben, daß sie an der Stelle b eine Nullstelle haben.
> Ich probiere mal ein paar
> Sätze dazu zuschreiben.
>
> Sei f(x) ein Polynom aus [mm]\IR[X].[/mm]
Hier müßte man f(X) schreiben, weil die Variable im Polynomring hier X heißen soll.
> Wäre das so korrekt oder ist f(x) eher ein Vektor oder
> doch 'nur' beides?
Du mußt Dir nochmal klarmachen, was ein Vektor ist: ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes. Nicht mehr, nicht weniger.
Ihr habt in der Vorlesung unter Garantie gezeigt, daß die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus [mm] \IR, [/mm] also der [mm] \IR[X], [/mm] alle Gesetze eines Vektorraumes über dem Körper [mm] \IR [/mm] erfüllt. Also sind die Polynome Elemente eines Vektorraumes - Vektoren halt.
Es hilft, sich schnell von dem Vektorbegriff der Schule zu trennen, welcher meist Pfeile und Spaltenvektoren beinhaltet.
Pfeile und Spaltenvektoren sind Beispiele für Vektorräume.
Und die vielleicht überraschende Erkenntnis ist die, daß sich Polynome im Rahmen der Eigenschaften, die für Vektorräume relevant sind, genauso "benehmen" wie Pfeile oder Spaltenvektoren.
> Analog dazu habe ich Schwierigkeiten n(x):=0 als
> Nullpolynom hinzunehmen, vermisse da wiederum die
> Vektorraum Begrifflichkeiten.
Darüber, daß n(X):=0 das Nullpolynom ist, müssen wir nicht weiter reden.
In dem Moment, in welchem wir einen Vektorraum betrachten, in dem es drin ist, ist es ein Vektor, und Du kannst Dir leicht überlegen, daß es der Nullvektor in [mm] \IR[X] [/mm] ist.
Mir ist nicht klar, welche Begrifflichkeiten Du vermißt.
> Wenn das aber Synonym ist,
> dann bin ich vom Verständnis schon etwas weiter.
> Warum ist in der Aufgabenstellung nur von X die Rede? Es
> dürfte ja zu x keinen Unterschied machen, also egal sein,
> wie man es schreibt.
In [mm] \IR[X] [/mm] haben die Polynome die Variable X, in [mm] \IR[x] [/mm] die Variable x und in [mm] \IR[A] [/mm] die Variable A.
>
> Nee, also so ganz ist meine Verwirrung noch nicht
> beseitigt, auch wenn ich mit wenig Formalismus die Aufgabe
> zufriedenstellend lösen könnte. ;)
Naja, aber genau das sollst Du ja im Moment lernen und tun!
Nicht spekulieren, nicht rumsülzen, sondern die bekannten Definitionen und Sätze verwenden, um mit ihrer Hilfe andere Aussagen zu beweisen.
Ablauf bei dieser Aufgabe
1. Kenntnis der Vektorraumdefinition
2. Anhand dieser Kenntnisse feststellen, daß [mm] \IR[X] [/mm] ein VR über [mm] \IR [/mm] ist.
3. Unterraumkriterien kennen
(All dies ist im Vorfeld geschehen)
4. Anhand dieser Axiome [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] auf die Unterraumeigenschaft prüfen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mo 21.11.2011 | | Autor: | davux |
Also ich habe mich jetzt ziemlich kurz gefasst, da nicht von einem Beweis die Rede war, aber hätte es schon gerne noch ausformuliert, wozu mir aber nicht die Zeit blieb. Ich habe eben im Kurzskript (Def., Sätze, keine Beweise oder Beispiele) nochmal nachgeschaut. Da dort kein Satz in Bezug auf Polynome auftaucht, meine ich, es war ein Beispiel für einen Vektorraum. Ich denke, es ist mir schon einiges an der Aufgabe klargeworden. Trotzdem sind noch ein paar Fragen übrig.
Da melde ich mich aber nach der Besprechung der Aufgabe heute Abend nochmal, wenn es nicht zu meiner Zufriedenheit gelaufen ist. Es würde mich zum Beispiel ziemlich überraschen, wenn es plötzlich heißt, dass [mm] V_2 [/mm] leer ist, weil sich kein passendes Polynom 5. Grades angeben lässt für das es ein beliebiges [mm] $b\in\IR$ [/mm] gibt, so dass $f(b)=0$.
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