Polynomringaufgabe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Di 30.10.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo liebe Leutz,
wir haben in Algebra viele Aufgaben bekommen und ich kann momentan nicht mehr klar denken, wegen den vielen Aufgaben, allerdings komme ich bei einer Aufgabe in Algebra nicht mehr weiter :-(
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, ich hab bei dieser Aufgabe kp was ich machen muss und wie das geht! Und das ist doch erst das 1. Übungsblatt, ich frage mich, warum die das gleich so schwer machen... naja
Also hier die Aufgabe:
R Ring und f = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_{i}X^{i} \in [/mm] R[X] normiertes Polynom [mm] (a_{n} [/mm] = 1).
Für ein r [mm] \in [/mm] R sei
f(X + r) := [mm] \summe_{i=0}^{n}a_{i}(X [/mm] + [mm] r)^{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} b_{i}X^{i} [/mm] für geeignete [mm] b_{0},...,b_{n} \in [/mm] R.
1. Charakterisiere in Abhängigkeit von R die normierten Polynome f, für die es ein r [mm] \in [/mm] R gibt, so dass obiges [mm] b_{n-1} [/mm] Null ist.
2. Es sei jetzt R ein Körper. Charakterisieren Sie in Abhängigkeit von R die normierten Polynome f, für die es ein r in R gibt, so dass obiges [mm] b_{n-2} [/mm] Null ist.
Ich hoffe wirklich, ihr wisst, wie das geht, ich bin jetzt zu kaputt nochmal 3 Stunden dadrüber zu brühen x-(
Vielen Dank schon im Voraus
LG
Caro
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> R Ring und f = [mm]\summe_{i=0}^{n}a_{i}X^{i} \in[/mm] R[X]
> normiertes Polynom [mm](a_{n}[/mm] = 1).
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> Für ein r [mm]\in[/mm] R sei
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> f(X + r) := [mm]\summe_{i=0}^{n}a_{i}(X[/mm] + [mm]r)^{i}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} b_{i}X^{i}[/mm] für geeignete [mm]b_{0},...,b_{n} \in[/mm]
> R.
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> 1. Charakterisiere in Abhängigkeit von R die normierten
> Polynome f, für die es ein r [mm]\in[/mm] R gibt, so dass obiges
> [mm]b_{n-1}[/mm] Null ist.
Hallo,
angenommen, das Polynom f wäre f= [mm] X^3+2X^2+3X+4.
[/mm]
Man würde sich lt. Aufgabenstellung nun dafür interessieren, ob es ein r gibt mit
[mm] f(X+r)=(X+r)^3+2(X+r)^2+3(X+r)+4 [/mm] , so daß der Koeffizient vorm [mm] X^2 [/mm] =0 ist.
Was würde man hierfür tun? Erstmal alle Koeffizienten der vorkommenden [mm] X^2 [/mm] sammeln.
Genauso würde ich es bei Deiner Aufgabe auch machen.
f(X + r) := [mm]\summe_{i=0}^{n}a_{i}(X[/mm] + [mm]r)^{i}[/mm]
[mm] =a_{0}(X [/mm] + [mm] r)^{0}+a_{1}(X [/mm] + [mm] r)^{1}+a_{2}(X [/mm] + [mm] r)^{2} [/mm] + ... + [mm] a_{n-2}(X [/mm] + [mm] r)^{n-2}+ a_{n-1}(X [/mm] + [mm] r)^{n-1}+ [/mm] (X + [mm] r)^{n}.
[/mm]
Nun sammele die [mm] X^{n-1} [/mm] mit ihren Koeffizienten. Hierfür ist sicher der binomische Satz nützlich.
Gruß v. Angela
> 2. Es sei jetzt R ein Körper. Charakterisieren Sie in
> Abhängigkeit von R die normierten Polynome f, für die es
> ein r in R gibt, so dass obiges [mm]b_{n-2}[/mm] Null ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 30.10.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo Angela, ich wollte noch mal nachfragen! Also ich muss nun einfach den binomischen Lehrsatz auf die letzten beiden Summandne anwenden, den Koefizienten von [mm] X^{n-1} [/mm] herausfinden und denn dann 0 setzen und nach r auflösen, mehr nicht?
Danke
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> Hallo Angela, ich wollte noch mal nachfragen! Also ich muss
> nun einfach den binomischen Lehrsatz auf die letzten beiden
> Summandne anwenden, den Koefizienten von [mm]X^{n-1}[/mm]
> herausfinden und denn dann 0 setzen
Hallo,
ja, genauso habe ich mir das vorgestellt.
> und nach r auflösen,
Ich habe es nicht bis zum Ende durchgeführt, ich weiß nicht, was da stehen wird.
Nach r auflösen vielleicht eher nicht, denn es ist ja gefragt, wie die Polynome beschaffen sein müssen, für die es solche ein r gibt.
Mach doch erstmal so weit, daß Du 0=... dastehen hast, dann kann man ja weiterüberlegen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Di 30.10.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > Hallo Angela, ich wollte noch mal nachfragen! Also ich muss
> > nun einfach den binomischen Lehrsatz auf die letzten beiden
> > Summandne anwenden, den Koefizienten von [mm]X^{n-1}[/mm]
> > herausfinden und denn dann 0 setzen
>
> Hallo,
>
> ja, genauso habe ich mir das vorgestellt.
Es kommt auch ein recht einfaches Ergebnis raus.
> > und nach r auflösen,
>
> Ich habe es nicht bis zum Ende durchgeführt, ich weiß
> nicht, was da stehen wird.
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> Nach r auflösen vielleicht eher nicht, denn es ist ja
> gefragt, wie die Polynome beschaffen sein müssen, für die
> es solche ein r gibt.
Ja, nach $r$ aufloesen geht im Allgemeinen auch nicht. Das geht nur in genau den Ringen, in denen es fuer jedes normierte Polynom von Grad $n$ ein solches $r$ gibt. (Es ist uebrigens sehr wichtig, $n$ hier mit aufzufuehren, da die Bedingung genauso stark vom Ring wie von $n$ abhaengt!)
(Hier ist die Loesung uebrigens, dass [mm] $a_{n-1}$ [/mm] in einem bestimmten Hauptideal liegen muss. Aber mehr verrat ich jetzt nicht  )
LG Felix
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