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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mi 12.04.2006 | | Autor: | ole |
| Aufgabe | Für Polynome f und g in K[X] schreiben wir g|f falls es ein Polynom h [mm] \in [/mm] K[X] gibt mit f = gh. In diesem Fall sagen wir "g teilt f".
Polynome [mm] p_{1}, [/mm] ...., [mm] p_{r} [/mm] in K[X] heißen teilerfremd falls aus [mm] g|p_{i} [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] r immer g = 1 folgt. Zeige: [mm] p_{1},..., p_{r} [/mm] in K[X] teilerfremd. Dann gibt es [mm] q_{1},..., q_{r} [/mm] in K[X] mit [mm] p_{1}q_{1} [/mm] + .... + [mm] p_{r}q_{r} [/mm] = 1. |
Hallo!
Ich sitze gerad an diesem Beweis und habe leider überhaupt keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll. Ich wäre euch echt dankbar für tolle Ideen!
Danke im voraus!
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mi 12.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für Polynome f und g in K[X] schreiben wir g|f falls es ein
> Polynom h [mm]\in[/mm] K[X] gibt mit f = gh. In diesem Fall sagen
> wir "g teilt f".
>
> Polynome [mm]p_{1},[/mm] ...., [mm]p_{r}[/mm] in K[X] heißen teilerfremd
> falls aus [mm]g|p_{i}[/mm] für alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] r immer g = 1 folgt.
Das halte ich fuer ein Geruecht. Du meinst: '...immer $g [mm] \in [/mm] K$ folgt.'
> Zeige: [mm]p_{1},..., p_{r}[/mm] in K[X] teilerfremd. Dann gibt es
> [mm]q_{1},..., q_{r}[/mm] in K[X] mit [mm]p_{1}q_{1}[/mm] + .... + [mm]p_{r}q_{r}[/mm]
> = 1.
> Hallo!
> Ich sitze gerad an diesem Beweis und habe leider überhaupt
> keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll. Ich wäre euch
> echt dankbar für tolle Ideen!
Schau dir doch mal das von [mm] $p_1, \dots, p_r$ [/mm] erzeugte Ideal in $K[x]$ an. Kannst du was ueber das Aussehen von dem Ideal sagen ($K[x]$ ist ein ...ring)?
LG Felix
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