Polynomungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Do 01.06.2006 | | Autor: | sonisun |
| Aufgabe | Für ein normiertes komplexes Polynom [mm] $p(z):=z^{n}+a_{n-1}*z^{n-1}+...+a_{0}$ [/mm] setzen wir $m:= [mm] [a_{0}]+ [a_{1}]+...+ [a_{n}] [/mm] $ und [mm] $R:=\max\{1,2m\}$ [/mm] sowie [mm] $r:=\max\{1,m\}$
[/mm]
Zeige, dass für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|z|\ge [/mm] R$ gilt:
[mm] $0,5*[z]^{n}\le[p(z)]\le1,5*[z]^{n}$ [/mm] |
hallo, da mich mein Cousin (Mathestudent im HS) heute enttäuschte, da er damit auch nicht klar kam (wir hatte aber auch net viel zeit), muss ich euch leider noch mal belästigen.
Es wurde noch folgender Hinweis zur Lösung der Aufgabe gegeben:zeige
[mm] $[a_{n-1}*z^{n-1}+...+a_{1}*z+a_{0}]\le m*[z]^{n-1}$ [/mm] für $ [mm] [z]\ge [/mm] 1$ und schätze p(z) mit den bieden Dreiecksungleichungen nach oben bzw. nach unten ab.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Do 01.06.2006 | | Autor: | sonisun |
das [x] bedeutet Betrag von x, hab ich vergessen zu erwähnen
|
|
|
| |
|
Hallo!
Zeig doch erstmal den Tipp! Das geht ziemlich schnell:
[mm] $|a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_0|\le |a_{n-1}||z|^{n-1}+\dots+|a_0|\stackrel{|z|\ge 1}\le \big(|a_{n-1}|+\dots+|a_0|\big)|z|^{n-1}=m|z|^{n-1}$.
[/mm]
Außerdem gilt ja [mm] $R\ge [/mm] 2m$, insbesondere [mm] $m\le \frac R2\le \frac [/mm] {|z|}2$. Jetzt die Dreiecksungleichung:
[mm] $|p(z)|\le |z|^n+ m|z|^{n-1}\le |z|^n+ \frac {|z|}2|z|^{n-1}=1,5|z|^n$.
[/mm]
Hast du jetzt eine Idee für die andere Richtung?
Gruß, banachella
|
|
|
|
