Position auf Cosinuskurve < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Di 02.08.2011 | | Autor: | Jony |
Hallo, meine Mathematik ist schon Jahrzehnte her, daher meine Frage:
Ich habe zwei Punkte mit den bekannten Koordinaten (x, y) und weiss, dass sie auf einer Cosinuskurve liegen. x ist kleiner als 360° und y ist ein Wert bis 90, da sie sich auf einem kartesischen Koordinatensystem befinden.
Was mir fehlt, ist die dazugehörige Cosinuskurve, also deren Startkoordinate (o) und Amplitude im Koordinatensystem. Das grösste Problem ist für mich dabei wohl, dass ich nicht die Lage der x-Achse kenne, ausser dass sie waagrecht ist, dafür habe ich zwei Punkte.
Mit arccos(x/90) für jeden der Punkte erhalte ich zwar schon Ergebnisse, bin mir aber unsicher, ob ich dabei den richtigen Weg einschlage wenn ich die Differenz der Ergebnisse mit der Differenz von x der Punkte ins Verhältnis setze um die Startkoordinate (o) der Kurve zu erhalten und anschliessend deren Amplitude ausrechnen zu können.
Ich hoffe, die Informationen reichen aus und würde mich auf Eure Hilfe freuen.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo, meine Mathematik ist schon Jahrzehnte her, daher
> meine Frage:
> Ich habe zwei Punkte mit den bekannten Koordinaten (x, y)
> und weiss, dass sie auf einer Cosinuskurve liegen. x ist
> kleiner als 360° und y ist ein Wert bis 90, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> da sie sich
> auf einem kartesischen Koordinatensystem befinden.
> Was mir fehlt, ist die dazugehörige Cosinuskurve, also
> deren Startkoordinate (o) und Amplitude im
> Koordinatensystem. Das grösste Problem ist für mich dabei
> wohl, dass ich nicht die Lage der x-Achse kenne, ausser
> dass sie waagrecht ist, dafür habe ich zwei Punkte.
> Mit arccos(x/90) für jeden der Punkte erhalte ich zwar
> schon Ergebnisse, bin mir aber unsicher, ob ich dabei den
> richtigen Weg einschlage wenn ich die Differenz der
> Ergebnisse mit der Differenz von x der Punkte ins
> Verhältnis setze um die Startkoordinate (o) der Kurve zu
> erhalten und anschliessend deren Amplitude ausrechnen zu
> können.
> Ich hoffe, die Informationen reichen aus und würde mich
> auf Eure Hilfe freuen.
> Grüße
Hallo Jony,
so wie ich es sehe, reichen diese Informationen wohl nicht
aus für das was du möchtest. Ein umfassender Ansatz für
die Kurvengleichung, die du suchst, wäre
$\ y\ =\ [mm] A*cos\,(\,B*(x-C)\,)+D$
[/mm]
Darin stecken 4 freie Parameter A, B, C, D . Wenn du nur 2
Punkte hast, genügen diese nicht, um die 4 Werte festzulegen.
Du brauchst also weitere Punkte oder andere zusätzliche
Angaben für die gewünschte Funktion.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Di 02.08.2011 | | Autor: | Jony |
Ein Wert bis 90 deshalb, weil es sich um Punkte auf der Nordhalbkugel der Erde handelt. Das heisst: Die Cosinuskurve ist sozusagen die im kartesischen Koordinatensystem eingezeichnete Schnittlinie eines Kugelsegmentes.
Ich hätte noch weitere Punkte, die 'nur' auf parallel zur ersten Kurve verlaufenden Cosinuskurven liegen, die aber zumindest die selbe Position auf der x-Achse hat. Aber dann wird's ja richtig kompliziert. Das muss ich mir über Nacht noch durch den Kopf gehen lassen.
Grüße
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> Ein Wert bis 90 deshalb, weil es sich um Punkte auf der
> Nordhalbkugel der Erde handelt. Das heisst: Die
> Cosinuskurve ist sozusagen die im kartesischen
> Koordinatensystem eingezeichnete Schnittlinie eines
> Kugelsegmentes.
>
> Ich hätte noch weitere Punkte, die 'nur' auf parallel zur
> ersten Kurve verlaufenden Cosinuskurven liegen, die aber
> zumindest die selbe Position auf der x-Achse hat. Aber dann
> wird's ja richtig kompliziert. Das muss ich mir über Nacht
> noch durch den Kopf gehen lassen.
>
> Grüße
Hallo Jony,
wenn da eine geometrische Aufgabe dahintersteckt, die
mit dem Schnitt einer Kugel und einer Ebene zu tun hat,
dann ist die gesuchte Kurve bestimmt mittels trigonome-
trischer Funktionen beschreibbar, aber es handelt sich
wohl doch nicht um eine "einfache" Cosinusfunktion.
Vermutlich ist die Art und Weise, wie du da ein karte-
sisches Koordinatensystem einsetzen willst, nicht dem
Problem angepasst.
Darf ich raten, worum es bei der Aufgabe wirklich
gehen soll ? Ich tippe auf eine astronomische Frage-
stellung wie z.B.:
1.) Wie beschreibe ich den Lauf des Sonnenstandes
in Azimut- und Höhenkoordinaten (gesehen von einem
bestimmten Beobachtungspunkt auf der Erdoberfläche)
an einem bestimmten Tag des Jahres ?
Oder vielleicht so etwas:
2.) Ein Flugzeug fliegt von Frankfurt nach San Francisco,
und zwar auf Großkreiskurs. Wo liegt der nördlichste
Punkt der Flugroute ?
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Jony |
Hallo Al-Chwarizmi,
ja, ich war überhaupt schon froh, dass ich draufgekommen bin, dass sich die Linie mit eine Cosinuskurve darstellen lässt. :) Nein, bei deinen Vorschlägen zur Fragestellung musste ich ein bischen schmunzeln. So alltäglich sind sie nicht. Ich beschäftige mich mit der Darstellung/Berechnung eines verschobenen Breitengrades/Gradnetzes auf dem kartesischen Koordinatensystem.
Ich kenne tatsächlich weitere Daten. Und zwar den Abstand auf der Kugeloberfläche von wie gesagt mindestens zwei Punkten auf dieser geraden Schnittlinie zum dazu parallel liegenden Grosskreis. Also bleiben wir im kartesischen Koordinatensystem: Ich versuche einen neuen Weg, indem ich die (schiefe) Schnittebene/Breite hilfsweise auf den Kugelmittelpunkt verschiebe, um den Startpunkt und die Amplitude zu erhalten. Das heisst, die Achse der Cosinuskurve ist jetzt die Null-Linie. Dann besitze ich also von den zwei Anfangs genannten Punkten, deren Lage im kartesischen Koordinatensystem bekannt ist, zusätzlich noch auf der Kugel deren senkrechten Abstand zur Cosinuskurve (Grosskreis), die auf der Null-Linie liegt.
Ich bin der Meinung, dass es nun mit zwei Punkten zu lösen sein müsste, selbst wenn die nicht auf der gesuchten Cosinuskurve liegen würden. Das nächste Problem, das ich sehe, ist die Berechnung von Punkten der Cosinuskurve (Grosskreis) mit Hilfe der Punktabstände (a). Ich denke, dass sich diese Abstandslinien auf dem kartesischen Koordinatensystem weder senkrecht noch parallel abbilden. Sicher sind sie selbst Teile einer normal zur Cosinuskurve (Grosskreis) stehenden Cosinuskurve.
Grüße
P.S. Welche Schulstufe/Studienstufe liesse sich die Aufgabe zuordnen?
P.P.S. Entschuldigung, wenn mein Vokabular nicht ganz fachgerecht sein sollte. Ich glaube, ich bin einen entscheidenden Schritt weiter gekommen:
Der Abstand (a) eines Punktes der Schnittebene zum parallel liegenden Grosskreis dürfte entscheidend für seine Position [mm] \alpha [/mm] auf der gesuchten Cosinuskurve sein. d.h. Wenn a=y, dann [mm] \alpha=90° [/mm] bzw. 270° und die Position der Nullinie der Cosinuskurve (h) dürfte dann auf y sein: h=y
P.P.P.S. Das hiesse, die möglichen Positionen der Cosinuskurve wären auf zwei reduziert. Ich neige dazu, folgendes für die Lage des Punktes auf der gesuchten Cosinuskurve anzunehmen:
[mm] \alpha(1)=a(1)-y(1)+90°
[/mm]
Ich bin mir aber noch nicht ganz sicher. Als nächstes müsste die Amplitude ermittelt werden, aber das schaffe ich heute Abend nicht mehr.
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> Hallo Al-Chwarizmi,
> ja, ich war überhaupt schon froh, dass ich draufgekommen
> bin, dass sich die Linie mit eine Cosinuskurve darstellen
> lässt. :)
(das ist ja gar noch nicht so sicher, solange deine
geometrische Fragestellung nicht wirklich klar ist ...)
> Nein, bei deinen Vorschlägen zur Fragestellung
> musste ich ein bisschen schmunzeln. So alltäglich sind sie
> nicht.
Ich denke erstens wirklich nicht, dass meine beiden Frage-
stellungen (die ich mir habe einfallen lassen, um dich
dazu zu bewegen, deine Frage genauer zu formulieren !)
"alltäglich" sind - und zweitens: so ganz einfach zu beant-
worten wären sie ohnehin auch keineswegs.
> Ich beschäftige mich mit der Darstellung/Berechnung
> eines verschobenen Breitengrades/Gradnetzes auf dem
> kartesischen Koordinatensystem.
Genau das, was du damit meinst, solltest du eben geometrisch
präzise beschreiben, damit man es wirklich versteht. Ich weiß
nicht wirklich, von welchem "kartesischen Koordinatensystem"
du sprichst - insbesondere weil die darin vorkommenden
Koordinaten ja offenbar doch Winkel beschreiben sollen.
Und ich bin mir nicht so sicher, ob die geometrische Frage,
die dich interessiert, wirklich inhaltlich etwas ganz anderes
ist als das, was in den von mir vermuteten Beispielen steckt.
Also: beschreibe doch die geometrische Frage und ihren
Hintergrund so, dass man alles wirklich verstehen kann.
> Ich kenne tatsächlich weitere Daten. Und zwar den Abstand
> auf der Kugeloberfläche von wie gesagt mindestens zwei
> Punkten auf dieser geraden Schnittlinie zum dazu parallel
> liegenden Grosskreis. Also bleiben wir im kartesischen
> Koordinatensystem: Ich versuche einen neuen Weg, indem ich
> die (schiefe) Schnittebene/Breite hilfsweise auf den
> Kugelmittelpunkt verschiebe, um den Startpunkt und die
> Amplitude zu erhalten. Das heisst, die Achse der
> Cosinuskurve ist jetzt die Null-Linie. Dann besitze ich
> also von den zwei Anfangs genannten Punkten, deren Lage im
> kartesischen Koordinatensystem bekannt ist, zusätzlich
> noch auf der Kugel deren senkrechten Abstand zur
> Cosinuskurve (Grosskreis), die auf der Null-Linie liegt.
>
> Ich bin der Meinung, dass es nun mit zwei Punkten zu lösen
> sein müsste, selbst wenn die nicht auf der gesuchten
> Cosinuskurve liegen würden. Das nächste Problem, das ich
> sehe, ist die Berechnung von Punkten der Cosinuskurve
> (Grosskreis) mit Hilfe der Punktabstände (a). Ich denke,
> dass sich diese Abstandslinien auf dem kartesischen
> Koordinatensystem weder senkrecht noch parallel abbilden.
> Sicher sind sie selbst Teile einer normal zur Cosinuskurve
> (Grosskreis) stehenden Cosinuskurve.
>
> Grüße
>
> P.S. Welche Schulstufe/Studienstufe liesse sich die Aufgabe
> zuordnen?
>
> P.P.S. Entschuldigung, wenn mein Vokabular nicht ganz
> fachgerecht sein sollte. Ich glaube, ich bin einen
> entscheidenden Schritt weiter gekommen:
> Der Abstand (a) eines Punktes der Schnittebene zum
> parallel liegenden Grosskreis dürfte entscheidend für
> seine Position [mm]\alpha[/mm] auf der gesuchten Cosinuskurve sein.
> d.h. Wenn a=y, dann [mm]\alpha=90°[/mm] bzw. 270° und die Position
> der Nullinie der Cosinuskurve (h) dürfte dann auf y sein:
> h=y
Am besten wäre es, wenn du außer einer klaren geometrischen
Beschreibung auch eine Zeichnung liefern könntest. Offenbar
willst du gewisse Breitenkreise einer Kugel auf eine gewisse
Fläche projizieren. Aber bisher habe ich keine Ahnung davon,
was für eine Projektion du dabei meinst. In Frage kämen zum
Beispiel:
[mm] \bullet [/mm] Normalprojektion auf eine Ebene
[mm] \bullet [/mm] Zentralprojektion auf eine Ebene
[mm] \bullet [/mm] Zylindrische Projektion auf eine zur Kugel tangentiale
Zylinderfläche
Das Ganze wird wohl klar, wenn du inhaltlich beschreibst, was
du haben möchtest. Wenn es nicht um Astronomie geht: geht
es um eine Kartenprojektion, eine technische Darstellung, oder
um was sonst halt ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Jony |
Ok, ein Beispiel: Angenommen durch ein Erdbeben verschieben sich die Pole und damit auch das Gradnetz der Erde. Es gibt zwei Orte, deren Breite (a) vor dem Erdbeben bekannt ist und deren aktuelle Koordinaten (x, y) man kennt.
Es ist meiner Meinung nach egal, welche Kartenprojektionsart man verwendet, weil es in jedem Fall nur um die Koordinaten geht und nicht um deren Projektion. Natürlich habe ich den Lösungsweg bisher eher geometrisch im Kopf als arithmetrisch auf dem Papier zu finden versucht.
Gesucht ist der Ort des Pols vor dem Erdbeben. Ich versuche ihn zu ermitteln durch die Berechnung des Startpunktes [mm] (\Delta) [/mm] und der Amplitude (p) der Cosinuskurve, die einen alten Breitenkreis oder Äquator in einem kartesischen Koordinatensystem darstellt. Soviel für heute und danke für die Hilfe bisher.
Grüße
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> Ok, ein Beispiel: Angenommen durch ein Erdbeben verschieben
> sich die Pole und damit auch das Gradnetz der Erde. Es gibt
> zwei Orte, deren Breite (a) vor dem Erdbeben bekannt ist
> und deren aktuelle Koordinaten (x, y) man kennt.
> Es ist meiner Meinung nach egal, welche
> Kartenprojektionsart man verwendet, weil es in jedem Fall
> nur um die Koordinaten geht und nicht um deren Projektion.
> Natürlich habe ich den Lösungsweg bisher eher geometrisch
> im Kopf als arithmetrisch auf dem Papier zu finden
> versucht.
> Gesucht ist der Ort des Pols vor dem Erdbeben. Ich
> versuche ihn zu ermitteln durch die Berechnung des
> Startpunktes [mm](\Delta)[/mm] und der Amplitude (p) der
> Cosinuskurve, die einen alten Breitenkreis oder Äquator in
> einem kartesischen Koordinatensystem darstellt. Soviel für
> heute und danke für die Hilfe bisher.
>
> Grüße
Verschiebung der Pole durch ein Erdbeben - ist dir bewusst,
dass das eine Sache in der Größenordnung von Centimetern,
eventuell Dezimetern ist. Im Vergleich zum (polaren) Erdradius
von etwa 635'700'000 cm ist dies winzig, winzig klein.
Als Winkelabweichung vielleicht etwa in der Größenordnung
von einem Millionstel Grad, also
0.000001° oder 0.004 Bogensekunden. Für die allermeisten
praktischen Zwecke also absolut unerheblich ...
Um so etwas überhaupt feststellen zu können, braucht man
hochpräzise astronomische Beobachtungen. Ich habe sogar
meine Zweifel, ob die in den Medien verbreiteten Meldungen
über die Verschiebung der Erdachse in Folge des Erdbebens
der Stärke 9 in Japan wirklich auf Beobachtungen beruhten.
Das übliche heute verwendete GPS (dessen Leistungen ich
durchaus bewundere und auch nutze) reicht dazu jedenfalls
längst nicht aus.
Und auch die Art der verwendeten Koordinaten wäre gerade
für eine derartige Untersuchung (deren Sinn mir noch nicht so
recht einleuchten will) absolut wesentlich.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Do 04.08.2011 | | Autor: | Jony |
Ja, du hast schon Recht, aber ob cm oder km, die Regeln dürften immer die selben sein. Das war auch nur ein Beispiel, aber die Summe von Erdbeben könnte durchaus zu einer grösseren Verschiebung führen. In diesem Fall interessieren mich die Koordinaten des Pols vor der Verschiebung.
Was für eine Art der verwendeten Koordinaten? Es sind Grad auf dem kartesischen Koordinatensystem. Ich habe jetzt folgende Formel aufgestellt, die wohl für jeden Punkt gilt:
[mm]p \times cos(\alpha_1) = y_1 - h[/mm]
[mm]p=Amplitude, \alpha_1=x-Koordinate\ eines\ Punktes, y_1 = y-Koordinate\ des\ Punktes, h = Basislinie\ der\ Cosinuslinie\ ueber\ dem\ neuen\ Aequator[/mm]
Ob folgendes ebenfalls gilt, bin ich mir nicht sicher. Ich habe es intuitiv aus dem Spezialfall entwickelt, dass sich der Punkt auf der Kugel nur nach oben oder unten verschoben hat:
[mm]h=y_1 - (y_1-b_1) / cos(\alpha_1)[/mm]
[mm]b_1 = die\ alte\ Breitenangabe\ des\ Punkte\ (Abstand\ zum\ alten\ Aequator)[/mm]
Vielleicht schaffe ich es morgen, eine Skizze hochzuladen. Viele Grüße
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Jony,
ich habe mal ein paar Rechnungen durchgeführt. Dabei
nehme ich an, dass die Polachse aus ihrer ursprüngli-
chen Position gegenüber dem Erdkörper (den ich als
Kugel betrachte) um einen Winkel \alpha gekippt wird,
und zwar so, dass der Nordpol in die Richtung einer
geographischen Länge \beta kippt .
Ich habe versucht, die neue geographische Breite \varphi_{neu} eines
Punktes der Erdoberfläche durch dessen alte Breite \varphi und
alte Länge \lambda auszudrücken.
Herausgekommen ist das Ergebnis:
$\mbox{\Large{\varphi_{neu}\ =\ arcsin\left[\,(cos\varphi*sin\alpha)*(cos\lambda*cos\beta+sin\lambda*sin\beta)+sin\varphi*cos\alpha\,\right]}}$
(in der ersten Version war noch ein Fehler)
Zur Herleitung verwendete ich zwar auch ein kartesisches
Hilfskoordinatensystem, aber effektiv handelt es sich um
eine Umrechnung zwischen zwei Kugelkoordinatensystemen.
Als Beispiel habe ich den Fall \alpha = 60° , \beta = 60° , \varphi = 45°
durchgerechnet, das heisst, ich habe mich um das Abbild
des 45. (nördlichen) Breitengrades bei einer Kippung der
Erdrotationsachse um 60° (extrem viel größer als alles,
was Erdbeben je bewirken könnten ...) gekümmert. Das
entstandene Bild hat die Gleichung
$\mbox{\Large{\varphi_{neu}\ \approx\ arcsin\left[\,0.306*cos\lambda+0.530*sin\lambda+0.354\,]}}$
und sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Skalenangaben im Bogenmaß ! 1 entspricht etwa 57.3° )
Abszisse = alte geographische Länge [mm] \lambda [/mm] (bei [mm] \varphi [/mm] = 45°)
Ordinate = neue geographische Breite [mm] \varphi_{neu}
[/mm]
Du siehst natürlich an der Gleichung und in der Zeichnung,
dass es sich keineswegs um eine Cosinusfunktion handelt !
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Zur Ergänzung hier noch eine weitere Grafik. Jede Kurve
steht für einen Kippwinkel aus { 0°, 15°, 30°, .... , 150° }.
Dabei steht die waagrechte Linie für 0° (d.h. jeder Punkt
mit der ursprünglichen geogr. Breite 45° = π/4 = 0.7854
behält diese auch bei). Die beiden Kurven mit Spitzen
gehören zu den Kippwinkeln 45° bzw. 135°. Dabei kommt
jeweils ein Punkt des (früheren) Breitenkreises [mm] \varphi [/mm] = [mm] 45^{\circ}
[/mm]
auf den Nordpol bzw. auf den Südpol zu liegen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Skaleneinteilung im Bogenmaß ! (1 entspricht 57.3°)
Abszisse: (alte) geogr. Länge eines Ortes
Ordinate: (neue) geogr. Breite dieses Ortes
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 07.08.2011 | | Autor: | Jony |
(In Bezugnahme auf den Artikel Position auf Cosinuskurve: verschiedene Kippwinkel von Al-Chwarizmi im Forum Trigonometrische Funktionen)
Hallo Al-Chwarizmi,
entschuldigung für meine späte Antwort. Ich habe jetzt eine Skizze erstellt: [Dateianhang nicht öffentlich]
Offensichtlich bin ich doch versehentlich von einer 'Tonnenprojektion' oder so ähnlich ausgegangen und habe übersehen, dass sich aufgrund der Kugelkrümmung die Ansicht des Koordinatensytems unten und oben dehnt. Damit kann ich mir schon vorstellen, dass die Cosinuskurven an einigen Stellen spitze Winkel bekommen. Was mich aber gerade verwirrt, ist die Überschneidung der Breitengrade an einigen Stellen, was ja eigentlich nicht vorkommen dürfte - vor allem zwischen den 'Wendekreisen'.
Meine Zeichnung ist ein bischen anders und stellt das Abbild verschiedener Breitengrade bei einem bestimmten Kippwinkel dar. Links unten habe ich einer Detailsituation. [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nach deiner Benennung erhoffte ich durch den Startpunkt und die Amplitude der (Cosinus)-Kurve zu ermitteln. Zumindest der Grosskreis sollte auf dem kartesischen Koordinatensytem doch weiterhin annähernd als Cosinuskurve dargestellt werden.
Grüße
P.S. Momentan kann ich deiner Formel noch nicht folgen. Ich habe meine jetzt intuitiv so erweitert:
[mm]p\times cos(x_1) / cos(y_1) = y_1 - h [/mm]
[mm](h= Breite \ der \ Abszisse)[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Jony,
der Unterschied unserer Zeichnungen ist der, dass du bei
gegebenem Kippwinkel eine Schar von Breitenkreisen darstellst,
währenddem ich das Bild eines bestimmten Breitenkreises
unter verschiedenen möglichen Kippwinkeln gezeichnet habe.
Ich kann mein Programm gut deinem Zugang anpassen.
Dann sieht das Ganze so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier sind für eine Polkippung um den Kippwinkel 30° die Bilder
der Breitenkreise mit
[mm] \varphi \in [/mm] { -60° , -45° , ..... , 90° }
Die fette schwarze Linie entspricht [mm] \varphi=0^{\circ} [/mm] , also dem
(früheren) Äquator. Diese Linie ist die einzige der Schar, die
wirklich einer einfachen Cosinuskurve entspricht.
Zu scheinbaren Überschneidungen kommt
es, weil gewisse Teile von Breitenkreisen bei der Kippung
einen Pol überqueren und dann quasi "hinten" liegen.
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 07.08.2011 | | Autor: | Jony |
Danke für das Bild. Die Scheitelpunkte scheinen sich immer konstant um den selben Wert zu erhöhen/verringern, im selben Massstab, wie auch die neuen Breitenkreise. Vermutlich betrifft das auch die hier nicht sichtbaren Abzissen. Entweder täuscht das Bild oder bei den Zwischenwerten ist das nicht mehr der Fall. Für einen Kippwinkel von 30° kommt mir der Scheitelpunt des Grosskreises im Bild ziehmlich hoch vor.
Du hast die alten Längengrade als Parameter eingesetzt. Die sind aufgrund des Alters naturgemäss sehr unsichere Werte. Ich vermute, dass dies die Komplexität der Formel auch noch mal deutlich erhöht hat. Bei der Verwendung der neuen Längengrade dürfte sich an den Kurve selbst eigentlich nichts ändern. Ich vermute, dass es eigentlich einfacher sein könnte:
[mm]h=90 \times cos(b)[/mm]
[mm]h=Abzisse\ der\ alten\ Breite (b)[/mm]
[mm]p=\alpha[/mm]
[mm]p=Amplitude\ entspricht\ dem\ Kippwinkel (\alpha)[/mm]
[mm]\beta=Startwinkel\ der\ Kurve[/mm]
Daraus würde ich folgern:
[mm]\alpha\times cos(x) / cos(y) + 90 \times cos(b) = y[/mm]
[mm]x=neuer\ Laengengrad[/mm]
An den Scheitelpunkten gilt:
[mm]p = y - b[/mm]
Und allgemein gilt:
[mm]p = (y-b) / cos(x-\beta)[/mm]
Grüße
P.S. Ist die Äquatorlinie wirklich noch eine reine Cosinuslinie? Die Verzerrung in y-Richtung sollte sich doch auch schon hier bemerkbar machen.
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> Danke für das Bild. Die Scheitelpunkte scheinen sich immer
> konstant um den selben Wert zu erhöhen/verringern,
Das ist klar, denn in der Meridianebene, in welcher die
Kippung der Polachse erfolgte, ändert sich natürlich jede
Breite genau um den Kippwinkel, für den ich im Beispiel
für die Zeichnung 30° gewählt habe.
> im selben Massstab, wie auch die neuen Breitenkreise.
> Vermutlich betrifft das auch die hier nicht sichtbaren
> Abzissen. Entweder täuscht das Bild oder bei den
> Zwischenwerten ist das nicht mehr der Fall.
Richtig. Nur in der Ebene von alter und neuer Erdachse
(die ich bei [mm] $\lambda\ [/mm] =\ [mm] 60^{\circ}\ \approx\ [/mm] 1.05$ angesetzt habe und die natür-
lich auch bei [mm] $\lambda\ [/mm] =\ [mm] -120^{\circ}\ \approx\ [/mm] -2.09$ wieder erscheint), ist die
Verschiebung von Kurve zu Kurve konstant.
> Für einen
> Kippwinkel von 30° kommt mir der Scheitelpunt des
> Grosskreises im Bild ziemlich hoch vor.
Er liegt genau bei 30°, wie du beim Vergleich mit den anderen
Kurven ablesen kannst.
> Du hast die alten Längengrade als Parameter eingesetzt.
> Die sind aufgrund des Alters naturgemäss sehr unsichere
> Werte. Ich vermute, dass dies die Komplexität der Formel
> auch noch mal deutlich erhöht hat.
Ob man die alten Koordinaten durch die neuen ausdrückt
oder die neuen durch die alten, ist im Prinzip dasselbe
(bis auf eine Vorzeichenänderung bei der Umrechnung).
> Bei der Verwendung der
> neuen Längengrade dürfte sich an den Kurve selbst
> eigentlich nichts ändern. Ich vermute, dass es eigentlich
> einfacher sein könnte:
>
> [mm]h=90 \times cos(b)[/mm]
> [mm]h=Abzisse\ der\ alten\ Breite (b)[/mm]
>
> [mm]p=\alpha[/mm]
> [mm]p=Amplitude\ entspricht\ dem\ Kippwinkel (\alpha)[/mm]
>
> [mm]\beta=Startwinkel\ der\ Kurve[/mm]
>
> Daraus würde ich folgern:
> [mm]\alpha\times cos(x) / cos(y) + 90 \times cos(b) = y[/mm]
>
> [mm]x=neuer\ Laengengrad[/mm]
>
> An den Scheitelpunkten gilt:
> [mm]p = y - b[/mm]
> Und allgemein gilt:
> [mm]p = (y-b) / cos(x-\beta)[/mm]
Für die Umrechnung braucht man eine Koordinatentrans-
formation, die dir in dieser Form wohl noch nicht bekannt ist.
Die resultierende Gleichung, mit der ich die Kurven berechnet
habe, habe ich aber schon angegeben:
$ [mm] \mbox{\large{\varphi_{neu}\ =\ arcsin\left[\,(cos\varphi\cdot{}sin\alpha)\cdot{}(cos\lambda\cdot{}cos\beta+sin\lambda\cdot{}sin\beta)+sin\varphi\cdot{}cos\alpha\,\right]}} [/mm] $
> P.S. Ist die Äquatorlinie wirklich noch eine reine
> Cosinuslinie?
> Die Verzerrung in y-Richtung sollte sich doch
> auch schon hier bemerkbar machen.
Du hast Recht. Ich habe da zuerst einen Überlegungsfehler
gemacht.
Du kannst die Gleichung der Bildkurve des Äquators bestimmen,
indem du in die obige Gleichung [mm] \varphi=0 [/mm] (und damit [mm] cos(\varphi)=1 [/mm] und
[mm] sin(\varphi)=0 [/mm] ) einsetzt. Die entstehende Gleichung kann man mittels
eines Additionstheorems vereinfachen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 07.08.2011 | | Autor: | Jony |
Nochmal danke. Vermutlich hätte ich korrekt 'geographisches Koordinatensystem' schreiben sollen.
Hat es einen bestimmten Grund, dass die erste Multiplikation noch mal eingeklammert ist? Kann man sich irgendwo über die Koordinatentransformation belesen? Welches Vorzeichen müsste ich umändern, um die neuen Längengrade als Parameter eingeben zu können, statt die alten?
Eigentlich kenne ich [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] noch nicht, dafür die alten und neuen Breitenangaben von mindestens 2 Punten und deren neue Längengrade. Das heisst vermutlich, ich muss die Formel umformen. So ein Kaltstart in Mathematik ist nach so vielen Jahren gar nicht so einfach.
Viele Grüße
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> Nochmal danke. Vermutlich hätte ich korrekt
> 'geographisches Koordinatensystem' schreiben sollen.
> Hat es einen bestimmten Grund, dass die erste
> Multiplikation noch mal eingeklammert ist?
Einzig den, dass ich diese Klammern nicht weggelassen
habe ...
> Kann man sich
> irgendwo über die Koordinatentransformation belesen?
Eigentlich ist das Ganze analog zur Umrechnung zwischen
verschiedenen astronomischen Koordinatensystemen.
Stichworte:
![[]](/images/popup.gif) sphärische Trigonometrie
nautisches Dreieck
> Welches Vorzeichen müsste ich umändern, um die neuen
> Längengrade als Parameter eingeben zu können, statt die
> alten?
Eigentlich nur das Vorzeichen des Kippwinkels; und du solltest
den Winkel [mm] \beta [/mm] im neuen statt im alten Koordinatensystem definieren.
> Eigentlich kenne ich [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] noch nicht, dafür
> die alten und neuen Breitenangaben von mindestens 2 Punkten
> und deren neue Längengrade.
Woher hast du denn eigentlich konkrete Zahlenwerte ? Auf
welche (historische) Polkippung beziehen sie sich ? Das würde
mich ebenfalls interessieren.
> Das heisst vermutlich, ich
> muss die Formel umformen. So ein Kaltstart in Mathematik
> ist nach so vielen Jahren gar nicht so einfach.
Das kann ich gut verstehen.
> Viele Grüße
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 09.08.2011 | | Autor: | Jony |
Hallo,
es ist für mich momentan nebensächlich, weshalb und seit wann die Koordinaten nicht stimmen (knacks im Messgerät, Plattenverschiebung ...). Bis ich das weiss, suche ich mehr oder weniger empirisch eine Formel für diese Koordinatentransformation, bei der ich der Einfachheit halber von einem veränderten [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ausgehe, das ich finden möchte.
Ich habe das ganze noch einmal skizziert. Meine Formel ist geringfügig anders, dürfte aber das selbe treffen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das nächste Problem ist eine Freistellung von [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \beta [/mm] in der ersten langen Formel, damit ich zwei Punkte in Bezug setzen kann. Da es den Seiten-Kosinussatz aber wohl nur genau so gibt: Ist da eine Umstellung überhaupt möglich oder brauche ich weitere Annahmen/Formeln?
Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
> es ist für mich momentan nebensächlich, weshalb und seit
> wann die Koordinaten nicht stimmen (knacks im Messgerät,
> Plattenverschiebung ...). Bis ich das weiss, suche ich mehr
> oder weniger empirisch eine Formel für diese
> Koordinatentransformation, bei der ich der Einfachheit
> halber von einem veränderten [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] ausgehe, das
> ich finden möchte.
>
> Ich habe das ganze noch einmal skizziert. Meine Formel ist
> geringfügig anders, dürfte aber das selbe treffen.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Das nächste Problem ist eine Freistellung von [mm]\alpha[/mm] oder
> [mm]\beta[/mm] in der ersten langen Formel, damit ich zwei Punkte in
> Bezug setzen kann. Da es den Seiten-Kosinussatz aber wohl
> nur genau so gibt: Ist da eine Umstellung überhaupt
> möglich oder brauche ich weitere Annahmen/Formeln?
>
> Grüße
Hallo Jony,
du hast auf jeden Fall die Formeln der sphärischen Trigonometrie
richtig angewandt. Deine erste Formel stimmt - bei richtiger "Übersetzung"
der Variablen - mit meiner überein:
$ [mm] \mbox{\Large{\varphi_{neu}\ =\ arcsin\left[\,(cos\varphi\cdot{}sin\alpha)\cdot{}(cos\lambda\cdot{}cos\beta+sin\lambda\cdot{}sin\beta)+sin\varphi\cdot{}cos\alpha\,\right]}} [/mm] $
Ich habe darin nur noch nicht verwendet, dass
$\ [mm] cos\lambda\cdot{}cos\beta+sin\lambda\cdot{}sin\beta\ [/mm] = [mm] cos(\beta-\lambda)$ [/mm]
Mit den zwei Punkten, von denen du den vollen Datensatz im
einen und die Breiten im zweiten Koordinatensystem hast,
ergeben sich zwei Gleichungen mit den unbekannten Winkeln
[mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] Dieses Gleichungssystem hat im Allgemeinen
nicht eine eindeutige Lösung, aber doch nur einzelne wesentliche
Lösungen. In einem Beispiel habe ich sie einfach numerisch be-
stimmt, ohne mich um eine algebraische Auflösung zu kümmern.
Dies sollte aber wohl auch möglich sein.
Nur nochmal die Frage: hast du jetzt irgendwelche konkreten
Daten oder nicht ?
Andernfalls konstruieren wir uns einfach mal ein Beispiel, um die
rechnerischen Prozesse durchspielen zu können, etwa:
[mm] P_1 [/mm] heutige Koordinaten [mm] \lambda_1=0^{\circ} [/mm] , [mm] \varphi_1=45^{\circ}
[/mm]
[mm] P_2 [/mm] heutige Koordinaten [mm] \lambda_2=90^{\circ} [/mm] , [mm] \varphi_2=30^{\circ}
[/mm]
[mm] P_1 [/mm] veränderte Breite [mm] 25.8^{\circ}
[/mm]
[mm] P_2 [/mm] veränderte Breite [mm] 3.3^{\circ}
[/mm]
(einzelne Lösungswinkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] haben dann ziemlich "runde" Werte)
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 09.08.2011 | | Autor: | Jony |
Lange Zeit war man zum Beispiel der Meinung, dass Masseille (P1) und Istambul (P2) auf der selben Breite liegen, übrigens auf der Basis von Gnomon-Messungen. Nehmen wir das als Beispiel und setzen:
alte Breite
P1 = 43°05'
P2 = 43°12'
neue Breite Länge
P1 = 43°18' 5°23'
P2 = 41° 29°
Hast du einen (nachvollziehbaren) Tip für die Lösung?
Grüße
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Lange Zeit war man zum Beispiel der Meinung, dass Masseille
> (P1) und Istambul (P2) auf der selben Breite liegen,
> übrigens auf der Basis von Gnomon-Messungen. Nehmen wir
> das als Beispiel und setzen:
>
> alte Breite
> P1 = 43°05'
> P2 = 43°12'
>
> neue Breite Länge
> P1 = 43°18' 5°23'
> P2 = 41° 29°
>
> Hast du einen (nachvollziehbaren) Tip für die Lösung?
>
> Grüße
Also, nehmen wir doch mal die Formel
$\ sin\varphi\cdot{}cos\alpha\ +\ cos\varphi\cdot{}sin\alpha\cdot{}(cos\lambda\cdot{}cos\beta+sin\lambda\cdot{}sin\beta)}} \ =\ sin(\varphi_{alt})$
Mit den Abkürzungen
sa:=sin(\alpha)\qquad ca:=cos(\alpha)\qquad sb:=sin(\beta)\qquad cb:=cos(\beta)
wird dies zu:
$\ sin\varphi\cdot{}ca\ +\ cos\varphi\cdot{}sa\cdot{}(cos\lambda\cdot{}cb +sin\lambda\cdot{}sb)}} \ =\ sin(\varphi_{alt})$
Daraus ergeben sich durch Einsetzen der Punkte P_1 und P_2
zwei Gleichungen. Zusätzlich müssen die Gleichungen
$\ ca^2+sa^2=1$ und $\ cb^2+sb^2=1$
erfüllt sein. Damit hat man insgesamt 4 Gleichungen für die
4 Unbekannten ca, sa, cb, sb .
Aus dessen Lösungen erhält man dann die möglichen
Lösungspaare (\alpha_i , \beta_i) für die Winkel.
Insgesamt sind dies zunächst 4 Winkelpaare, von welchen
sich aber je zwei als gleichbedeutend entpuppen. Von
den verbleibenden zwei Paaren ist für die Aufgabe aber
nur eines (mit einem recht kleinen Kippwinkel) sinnvoll.
Ich bin auf einen Kippwinkel \alpha\approx 5°55' gekommen.
Übrigens: zum Lösen des Gleichungssystems ist z.B.
folgende Seite hilfreich:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm
LG Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:41 Di 09.08.2011 | | Autor: | Jony |
Danke, mit der numerischen Lösung bin ich auf den selben Wert gekommen und eine Neigung in Richtung Indiana/Amerika (oder es hat sich jemand an den Gnomon gelehnt).
Auf der Suche nach einer algebraischen Lösung bin ich jedoch noch nicht weiter. Mein altes Mathematikbuch habe ich auch nicht zur Hand ... Ist mir über die Jahre etwas abhanden gekommen oder fehlt mir da noch Fachwissen?
Grüße
P.S. Ich vermute mal vorsichtig, es läuft auf eine Quadratgleichung hinaus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 29.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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