Positionsbestimmung im Raum < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Mathissa |
Ein fröhliches Hallo euch allen,
ich habe ein Problem. Unser Mathelehrer hat mir nahegelegt für meine mdl. Note doch noch ein Referat zu halten. Da wir uns gerade mit Kugeln beschäftigen, hat er vorgeschlagen, dass ich ein Referat über den intelligenten Fußball halten könnte. Allerdings verstehe ich das Ganze noch nicht so richtig. Es handelt sich dabei um einen Ball mit einem Chip, der in der Sekunde 2000 Signale aussendet. Damit wird mittels der Zeit, die das Signal zu verschiedenen Messpunkten braucht, die Entfernung zu den Messpunkten bestimmt. Die Messpunkte sind um das Spielfeld angeordnet. Mein Lehrer gab mir den Tipp den Anstoßpunkt als Ursprung zu betrachten. Wie viele solcher Abstände benötige ich denn um die Position des Fußballes auf dem Spielfeld zu bestimmen? Und wenn ich nun weiß, ich hätte meinetwegen sechs Abstände, wie bekomme ich dann rein rechnerisch die Ballposition?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mathissa,
für die Betrachtung der Position des Balles kann man wohl vernachlässigen, wie weit er gerade über dem Boden sich befindet/ ob er gerade auf dem Boden liegt. (anderes wäre aber auch kein Problem). Der Raum durch den der Ball sich also bewegt kann also als der [mm] $mathbb{R}^2$ [/mm] betrachtet (Genauer: als Isomorph zu einer Teilmenge dessen) werden.
Nehmen wir mal 2 Empfangsstationen, etwa in der linken und der rechten unteren Ecke des Spielfeldes.
Wo ist nun der Ball? Naja, der Abstand zu den Empfangspunkten ist ja gegeben durch die Signallaufzeit, also etwa [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2, [/mm] der Ball befindet sich auf dem Schnittpunkt der Kreislinien [mm] k_1(Empf1, r_1) [/mm] und [mm] k_2(Empf2, r_2). [/mm] Sollte es nun noch 2 Möglichkeiten geben (die beiden Kreise können sich innerhalb des Spielfeldes max. 2x schneiden) so kann man ja noch eine 3. Station zu rate ziehen.
Drücken wir das also mathematischer aus:
Geg.: Position des Balls B(x;y), ObdA: Sendestationen [mm] S_1(0;0) [/mm] und [mm] S_2(0;1), S_3(1;1), [/mm] mit den Entfernungen [mm] d_1(B,S_1), d_2(B,S_2)...
[/mm]
Wir erhalten also die Gleichungen:
[mm] 1)|B-S_1|=|B|=d_1
[/mm]
[mm] 2)|B-S_2|=d_2
[/mm]
[mm] 3)|B-S_3|=d_3
[/mm]
somit:
[mm] $\sqrt{x^2+y^2}=d_1$
[/mm]
[mm] $\sqrt{x^2+(y-1)^2}=d_2$
[/mm]
und falls das noch nicht Eindeutig ist:
[mm] $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=d_3$
[/mm]
Jetzt muss nur noch aufgelößt werden:
[mm] 1)=>$x^2+y^2=d_1^2$ [/mm] => [mm] $x^2=d_1^2-y^2$
[/mm]
[mm] 2)=>$(x^2+(y-1)^2=d_2^2$ [/mm] => [mm] $x^2=d_2^2-(y-1)^2$
[/mm]
Gleichsetzen
[mm] $d_1^2-y^2=d_2^2-(1-y)^2$
[/mm]
...
(nach y auflösen, dann in 1)einsetzen, und nach x auflösen, man erhällt den Punkt.
Bei weiteren Fragen einfach nochmal nachfragen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Do 18.05.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Nun habe ich mal eine Frage...
> Geg.: Position des Balls B(x;y), ObdA: Sendestationen
> [mm]S_1(0;0)[/mm] und [mm]S_2(0;1), S_3(1;1),[/mm] mit den Entfernungen
> [mm]d_1(B,S_1), d_2(B,S_2)...[/mm]
>
> Wir erhalten also die Gleichungen:
> [mm]1)|B-S_1|=|B|=d_1[/mm]
> [mm]2)|B-S_2|=d_2[/mm]
> [mm]3)|B-S_3|=d_3[/mm]
>
> somit:
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}=d_1[/mm]
> [mm]\sqrt{x^2+(y-1)^2}=d_2[/mm]
>
> und falls das noch nicht Eindeutig ist:
> [mm]\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=d_3[/mm]
>
> Jetzt muss nur noch aufgelößt werden:
> 1)=>[mm]x^2+y^2=d_1^2[/mm] => [mm]x^2=d_1^2-y^2[/mm]
> 2)=>[mm](x^2+(y-1)^2=d_2^2[/mm] => [mm]x^2=d_2^2-(y-1)^2[/mm]
> Gleichsetzen
> [mm]d_1^2-y^2=d_2^2-(1-y)^2[/mm]
> ...
> (nach y auflösen, dann in 1)einsetzen, und nach x
> auflösen, man erhällt den Punkt.
> Bei weiteren Fragen einfach nochmal nachfragen!
Die hätte ich ja jetzt.
Die Rechnung ist super nachvollziehbar, aber ich versteh absolut nicht, wie man dadurch die Position eines flexiblen Balls bestimmen kann? Was ist denn hier nun gegeben? Hat der Punkt schon bekannte Koordinaten?
Oder sind die Abstände d gegeben?
Ich habe ja sonst 5 unbekannte und nur drei Gleichungen, wie löse ich das dann?
Also X und Y gilt es doch gerade zu ermitteln?
Dann sind [mm] d_1,d_2,d_3 [/mm] als konkrte Zahlenwerte gegeben? Aber das kann doch gar nicht, da wir Punkt B nicht haben.
Das verstehe ich nicht ganz...
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Di 06.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Phoney,
man muss nur die Stücke zusammensuchen: [mm] d_1, d_2, d_3 [/mm] sind die Abstände, die sich aus den Laufzeitmessungen ergeben. Nachtwaechter ist unterwegs von [mm] r_i [/mm] aud [mm] d_i [/mm] umgestiegen.
Hallo Mathissa,
Bei Nachtwaechters Anwort machen wir mal aus den Sendestationen Empfangsstationen. Wenn das mit Kugeln zu tun haben soll, dann ist natürlich eine dritte Station nötig, damit auch die Höhe über dem Rasen herauskommt. Besser sind aber vier, falls es Eindeutigkeitsprobleme gibt. Die lassen sich vielleicht vermeiden, wenn die Stationen ebenerdig sind. Hat der Sender im Ball eine Uhr? Wie wird sonst die Laufzeit bestimmt? Naja, solange der Ball nicht zuweit weg ist, haben alle Empfänger ein Signal bekommen bevor das nächste dran ist. Dennoch kennen sie ohne synchronisierte Uhren nur die Laufzeitdifferenzen der Stationen untereinander. Das würde dann die Aufgabe etwas lästiger machen.
Nun aber in kurzen Worten noch einmal das von Nachtwaechter:
Aus der Laufzeit und der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich die Entfernung Ball zu Empfänger. Damit weiß jeder Empfänger, dass der Ball irgendwo auf einer Kugel mit diesem Radius um ihn sich befindet. Bei zwei Empfängern schneiden sich diese Kugeln in einem Kreis. Sind die Empfänger auf Höhe des Rasens, so steht dieser Kreis mit dem Mittelpunkt auf Rasenhöhe und senkrecht zur Verbindungslinie der Empfänger. Mit einer dritten Kugel bekommt man dann einen Schnittpunkt.
Mehr Empfänger braucht man nur, wenn noch die Genauigkeit eine Rolle spielt. Die Winkel unter denen der Ball zwei Empfänger sieht, sollten nicht zu klein werden.
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