Potential, Zylinder < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Anordnung bestehe aus einem unendlich langen, leitfähigen Zylinder. Der Radius dieses Zylinders sei [mm] \rho_{0} [/mm] und sein Mittelpunkt sei die z-Achse. Der Zylinder sei geerdet und habe das Potential [mm] \Phi=0. [/mm] Außerhalb des Zylinders befinde sich am Punkt [mm] P_{1}=a\vec{e}_{x}+a\vec{e}_{y} [/mm] eine Linienladung, welche die Linienladungsdichte [mm] \lambda [/mm] besitzt. Die Permittivität des Raumes sei [mm] \epsilon_{0}.
[/mm]
a) Geben Sie eine äquivalente Ersatzanordnung für den Raum außerhalb des Zylinders an.
b) Geben Sie das Potential und die elektrische Feldstärke in kartesischen Koordinaten außerhalb des Zylinders an. |
Hallo E-Techniker!
zu a)
Die Ersatzanordnung entspricht der eines leitenden, geerdeten Zylinders vor dem sich im Abstand [mm] s_{1} [/mm] eine Linienladung der Stärke [mm] \lambda [/mm] befindet. Der Abstabd [mm] s_{2} [/mm] und die Stärke der Spiegelladung [mm] \lambda' [/mm] lauten wie folgt:
[mm] \lambda'=-\lambda
[/mm]
[mm] s_{1}=\wurzel{2}a
[/mm]
[mm] s_{2}=\bruch{\rho_{0}^{2}}{s_{1}}=\bruch{\rho_{0}^{2}}{\wurzel{2}a}
[/mm]
Der Einheitsvektor der den Ursprung des Zylinders mit der Linienladung verbindet, ist [mm] \vec{e}_{s}=\bruch{(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y})}{\wurzel{2}}. [/mm] Die Spiegelladung befindet sich somit an der Stelle [mm] \vec{r}_{s}=s_{2}\vec{e}_{s}=\bruch{\rho_{0}^{2}}{2a}(\vec{e}_{x}+\vec{e}_{y})
[/mm]
zu b)
Das Potential für den Außenraum ergibt sich zu
[mm] \Phi(x,y)=-\bruch{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}}\vektor{ln\bruch{(x-a)^{2}+(y-a)^{2}}{\rho_{0}}-ln\bruch{(x-\bruch{\rho_{0}^{2}}{2a})^{2}+(y-\bruch{\rho_{0}^{2}}{2a})^{2}}{\rho_{0}}}
[/mm]
Meine Frage zu dieser Aufgabe:
Wie kommt auf die Potentialfunktion [mm] \Phi(x,y) [/mm] in b)? Insbesondere die 4 im Nenner kann ich nicht nachvollziehen, wo man doch in der Formelsammlung eine 2 hat.
In der Formelsammlung steht folgende Formel für eine unendlich ausgedehnte Linienladung:
[mm] \Phi(P)=-\bruch{\lambda}{2\pi\epsilon}*ln(\bruch{|\vec{r}|}{\rho_{0}})
[/mm]
Über einen hilfreichen Tipp würde ich mich freuen.
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 16.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Interesse besteht nach wie vor, vielen Dank!
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