Potential in Kugelkoordinaten < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Sa 05.01.2013 | | Autor: | aiedala |
Hallo,
Ich hänge gerade daran fest, nachzuvollziehen, warum beim Potential einer homogen geladenen Kugel folgender Zusammenhang besteht:
[mm] \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos\vartheta}}
[/mm]
Wegen der Kugelsymmetrie kann man sich ja an sich den Punkt immer auf die z-Achse legen:
[mm] \vec{r}=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
r
\end{array}\right)
[/mm]
[mm] \vec{r}'=\left(\begin{array}{c}
r'\sin\vartheta'\cos\varphi'\\
r'\sin\vartheta'\sin\varphi'\\
r
\end{array}\right)
[/mm]
Meiner Meinung nach müsste dann aber folgender Ausdruck quadriert und daraus die Wurzel genommen werden:
[mm] r-r'\cos\vartheta'
[/mm]
Dabei kommt bei mir [mm] \sqrt{r^{2}+r'^{2}\cos^{2}\vartheta'-2rr'\cos\vartheta'}
[/mm]
im Nenner raus, was offensichtlich nicht das gleiche ist, wie das, was raus kommen soll...
Könnt ihr mir da weiter helfen?
Liebe Grüße,
Aiedala
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und herzlich Willkommen hier im Forum!
> Hallo,
>
> Ich hänge gerade daran fest, nachzuvollziehen, warum beim
> Potential einer homogen geladenen Kugel folgender
> Zusammenhang besteht:
>
> [mm]\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}'\right|}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos\vartheta}}[/mm]
>
> Wegen der Kugelsymmetrie kann man sich ja an sich den Punkt
> immer auf die z-Achse legen:
>
> [mm]\vec{r}=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
r
\end{array}\right)[/mm]
>
> [mm]\vec{r}'=\left(\begin{array}{c}
r'\sin\vartheta'\cos\varphi'\\
r'\sin\vartheta'\sin\varphi'\\
r
\end{array}\right)[/mm]
Hier stimmt doch was nicht. der letzte Eintrag sollte [mm] r'\cos\vartheta' [/mm] sein.
Berechne [mm] \vec{r}-\vec{r'} [/mm] und bestimme den Betrag. Dann kommst du durch Anwendung der Additionstheoreme genau auf die gewünschte Lösung. Passt alles wunderbar.
>
> Meiner Meinung nach müsste dann aber folgender Ausdruck
> quadriert und daraus die Wurzel genommen werden:
>
> [mm]r-r'\cos\vartheta'[/mm]
>
> Dabei kommt bei mir
> [mm]\sqrt{r^{2}+r'^{2}\cos^{2}\vartheta'-2rr'\cos\vartheta'}[/mm]
> im Nenner raus, was offensichtlich nicht das gleiche ist,
> wie das, was raus kommen soll...
>
> Könnt ihr mir da weiter helfen?
>
> Liebe Grüße,
> Aiedala
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 05.01.2013 | | Autor: | aiedala |
Ach mist, da hat mir Copy&Paste unbemerkt einen Strich durch die Rechnung gemacht.
Ich meinte natürlich [mm] \vec{r}=\left(\begin{array}{c}
r'\sin\vartheta'\cos\varphi'\\
r'\sin\vartheta'\sin\varphi'\\
r'\cos\vartheta'
\end{array}\right)
[/mm]
Wenn ich jetzt die z-Komponente dieses Vektors von r subtrahiere und den Betrag des ganzen nehme, komme ich nach wie vor auf meine oben angegebene Lösung. Ich weiß leider auch nicht, wie ich hier die Additionstheoreme einbauen sollte... schließlich gibt es nur einen Cosinus.
|
|
|
| |
|
Abend,
eigentlich verlangen wir hier, dass Rechnungen vorgetragen werden. Aber es gibt jetzt einfach mal einen Anfangsbonus für dich ;)
[mm] \vec{x}=\vektor{r'\sin\vartheta'\cos\varphi'\\ r'\sin\vartheta'\sin\varphi'\\ r'\cos\vartheta'}-\vektor{0\\0\\r}
[/mm]
Ich möchte wegen der Einfachheit jetzt mal folgendes Nutzen: [mm] a=\vartheta' [/mm] und [mm] b=\varphi', [/mm] sowie vertausche ich r' mit r. Ich hoffe du kannst mir folgen.
Wir haben also
[mm] \vec{x}=\vektor{r\sin(a)\cos(b)\\ r\sin(a)\sin(b)\\ r\cos(a)-r'}
[/mm]
Es ist
[mm] |\vec{x}|^2
[/mm]
[mm] =r^2\sin^2(a)\cos^2(b)+ r^2\sin^2(a)\sin^2(b)+r^2\cos^2(a)+r'^2-2r'r\cos(a)
[/mm]
[mm] =r^2\sin^2(a)(\underbrace{\cos^2(b)+sin^2(b)}_{=1})+r^2\cos^2(a)+r'^2-2r'r\cos(a)
[/mm]
[mm] =r^2\sin^2(a)+r^2\cos^2(a)+r'^2-2r'r\cos(a)
[/mm]
[mm] =r^2+r'^2-2r'r\cos(a)
[/mm]
Wenn wir das ganze jetzt mal auf deine ursprünglichen Variablen rucktransformieren so erhalten wir
[mm] \vec{x}=\sqrt{r'^2+r^2-2rr'\cos\vartheta'}
[/mm]
Und damit haben wir das gewünschte Ergebnis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Sa 05.01.2013 | | Autor: | aiedala |
Vielen Dank, ich stand wirklich auf einem dicken Schlauch, jetzt weiß ich, wo mein Fehler war =)
|
|
|
|
