Potenz Matrix = Nullmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo alle zusammen,
ich habe ein kleines Problem mit einer Übungsaufgabe:
Sei K ein Körper. Bestimmen Sie alle A [mm] \in M_{22} [/mm] (K) mit [mm] AA=A^2=0.
[/mm]
Also es geht um die einfache Potenz einer Matrix 2x2. Mein Ansatz war folgender:
Sei A = [mm] \pmat{a & b \\ c & d } [/mm] und sei C das Produkt. Dann ist das Produkt dieser Matrix bestimmt durch:
(1) [mm] c_{11} [/mm] = aa + bc
(2) [mm] c_{12} [/mm] = ab + bd
(3) [mm] c_{21} [/mm] = ac + dc
(4) [mm] c_{22} [/mm] = cb + dd
Aus Gleichung (2) und (3) kann ich schlussfolgern das a = -d bzw. d = -a. Aber wir mache ich jetzt weiter, denn wenn ich jetzt die Formeln umstelle kriege ich immer cb = bc oder ähnliches.
Außerdem gilt das ja für folgende Fälle (also der Satz):
A = [mm] \pmat{ -a & -b \\ c & d}
[/mm]
A = [mm] \pmat{ -a & b \\ -c & d} [/mm] etc., aber auch für
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}
[/mm]
--> also für Fälle in denen b [mm] \not= [/mm] -c (bzw. andersrum).
Habt Ihr irgendeine Idee.
Apropos: Ist das überhaupt angebracht bei diesen "Bestimmen Sie.." Aufgaben so vorzugehen oder reicht es da wenn ich die Lösung hinschreibe?
Dank schon mal
Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Kennst du die Jordansche Normalform?
Es sind genau die Matrizen, die [mm] $\pmat{0 & 0 \\ 0 & 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 & 0 \\ 1 & 0}$ [/mm] als Jordansche Normalform haben.
(Klar, entweder [mm] $p_1(x)=x$ [/mm] oder [mm] $p_2(x)=x^2$ [/mm] sind wegen [mm] $A^2=0$ [/mm] das Minimalpolynom.)
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo,
ich kenne die Jordansche Normalform nicht. Das hatten wir noch nicht, vielleicht soll ich mir diese durch die Aufgabe herleiten. Obwohl, dass ist wohl eine zu schwierige Aufgabe, oder?
Ich sage dir am besten mal was wir hatten:
Matrizenrechnung (Addition, Multiplikation, Transponierte)
Elementarmatrizen
Treppennormalform
Gauss
Ich studiere an der Fernuni und kriege immer Hefte zugeschickt, die man dann durcharbeiten muss, da war aber von Jordanscher Normalform keine Rede.
Kann man denn auf die Lösung kommen, ohne sich auf diese zu beziehen?
Grüße Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Im Falle $b=0$ kommt man schnell darauf, dass $A$ die Nullmatrix sein muss. Ansonsten erhält man $d=-a$, wie du gesagt hast, und kommt auf die Matrizen
$A = [mm] \pmat{a & b \\ c & -a}$
[/mm]
mit [mm] $a^2+bc=0$.
[/mm]
genau die Matrizen, die die Beziehung [mm] $A^2=0$ [/mm] erfüllen.
Die Matheskripte der Fernuni Hagen kenne ich sehr gut. Ich besitze alle (bis auf drei, glaube ich), zum Großteil habe ich die Aufgaben auch während meines normalen Mathestudiums (aus Spaß) eingesendet und besitze Musterlösungen zu fast allen Kursen.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
vielen Dank für die Hilfe. Also dann lag ich ja gar nicht so verkehrt. Ich habe nochmal nachgeschaut im Inhaltsverzeichnis der kommenden Hefte und da stand auch nichts von Jordanscher Normalform. Vielleicht sollte ich mir noch ein paar zusätzliche Quellen für ein vollständiges Bild besorgen. Kannst du mir da was empfehlen, anscheinend bist du ja ganz fit (wenn du das so zum Spass machst). Ich finde es manchmal ganz schön schwierig, v.a. weil man es im Grunde ja sich selber beibringt.
Grüße Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffen!
Speziell zur Jordanschen Normalform kannst du dir erst einmal das hier durchlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf.
Ansonsten kann ich dir an LA-Büchern den "Fischer" (vieweg) und den "Bosch" (Springer) empfehlen.
Du solltest neben den Fernuni-Skripten auf jeden Fall auch zusätzlich in Lehrbücher reinschauen (auch wenn die Skripte sehr gut sind).
Liebe Grüße
Stefan
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> Hallo Stefan,
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> vielen Dank für die Hilfe. Also dann lag ich ja gar nicht
> so verkehrt. Ich habe nochmal nachgeschaut im
> Inhaltsverzeichnis der kommenden Hefte und da stand auch
> nichts von Jordanscher Normalform. Vielleicht sollte ich
> mir noch ein paar zusätzliche Quellen für ein vollständiges
> Bild besorgen.
Hallo, vergiß fürs erste die Jordannormalform, die kommt gegen Ende des zweiten Semesters dran... Ist kein Mangel deines Skriptes, daß Du davon noch nichts gelesen hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Frage wurde beantwortet.
Liebe Grüße
Stefan
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