Potenzen einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Di 16.08.2011 | | Autor: | saberdam |
| Aufgabe | Gegeben seien die Matrizen
A = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm] , B = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Geben sie alle Potenzen [mm] A^{n} [/mm] und [mm] B^{n} [/mm] , n [mm] \in \IN_{0}, [/mm] an. |
Hallo,
Ich habe bei dieser Aufgabe (erst mal Matrix A) das charakteristische Polynom berechnet.
det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] \lambda^{2} [/mm] - 1 = 0
Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt dann:
[mm] A^{2} [/mm] - E = 0
[mm] A^{2} [/mm] = E
Bis hierhin kam ich selbst. Jetzt weiß ich nicht was ich machen soll. Als Lösung ist angegeben:
[mm] A^{2k} [/mm] = E , [mm] A^{2k+1}=A, [/mm] k [mm] \in \IN_0
[/mm]
Kann mir jemand einen Tipp geben? Wenn ich das verstehe, dann kann ich es nochmal für Matrix B berechnen.
Wovon leiten sie, dass [mm] A^{2k+1} [/mm] = A ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 16.08.2011 | | Autor: | Dath |
Soweit so gut. Wenn du weißt, dass die zweite Potenz der Matrix A gleich der Einheitsmatrix E ist, dann ist das Produkt der zweiten Potenz der Matrix A mit der Matrix A selber, sprich die dritte Potenz, gleich dem Produkt aus der Einheitsmatrix E und der Matrix A, was wiederum der Matrix A entspricht.
Was haben wir gemacht? Wir haben die erste, zweite und dritte Potenz der Matrix durch eine Funktion von A dargestellt. Aufgrund der Eigenshaft der Einheitsmatrix E, dass jede ihrer Potenzen wieder E ist, folgt der Teil mit den geradzahligen Potenzen.
Der zweite teil ist eigentlich nur ein Spiel mit Matrizen. Denn Multiplikation einer Matrix von links mit der Einheitsmatrix (gilt auch für Mult. von rechts, aber wir können uns hier entscheiden, wie wir's machen, also nehmen wir o.B.d.A. Linksmultiplikation), ergibt wieder die Matrix selber.
Das ganze solltest du, wenn möglich, noch schön mathematisch formulieren. Eine Induktion über gerade, bzw. ungerade Zahlen kann man hier z.B. verwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Di 23.08.2011 | | Autor: | saberdam |
Ich danke dir. Ich habe mir das komplizierter Vorgestellt als es ist.
Vielen Danke.
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