Potenzgesetz beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige für alle: [mm] k,m,n,\in \IN [/mm] gilt [mm] (k^m)^n [/mm] = [mm] k^m^*^n [/mm] |
Hallo! :)
Ich habe das Potenzgesetz folgendermaßen bewiesen:
[mm] (k^m)^n=\underbrace{k*k*k*...*k*k*k}_{m-mal}=k^m^*^n
[/mm]
(unter der "Unterklammer" muss eigentlich noch eine sein die aussagt, dass das ganze n-mal genommen wird, aber das bekomm ich irgendwie nicht hin)
Man nimmt k n-mal m-mal mit sich selbst mal.
Reicht das als Beweis schon aus? Im Skript wurde das 1. Potenzgesetz per voll.Indu. bewiesen und das 3. in der Form wie ich es jetzt gemacht habe. Könnte ich es auch per voll. Indu. beweisen? Wirklich weit bin ich damit nämlich nicht gekommen.
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ohmeinkreuz,
> Zeige für alle: [mm]k,m,n,\in \IN[/mm] gilt [mm](k^m)^n[/mm] = [mm]k^m^*^n[/mm]
> Hallo! :)
>
> Ich habe das Potenzgesetz folgendermaßen bewiesen:
>
> [mm](k^m)^n=\underbrace{k*k*k*...*k*k*k}_{m-mal}=k^m^*^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (unter der "Unterklammer" muss eigentlich noch eine sein
> die aussagt, dass das ganze n-mal genommen wird, aber das
> bekomm ich irgendwie nicht hin)
>
> Man nimmt k n-mal m-mal mit sich selbst mal.
>
> Reicht das als Beweis schon aus? Im Skript wurde das 1.
> Potenzgesetz per voll.Indu. bewiesen und das 3. in der Form
> wie ich es jetzt gemacht habe. Könnte ich es auch per voll.
> Indu. beweisen? Wirklich weit bin ich damit nämlich nicht
> gekommen.
Wenn du mit dem 1.Potenzgesetz das Gesetz $k^m\cdot{}k^n=k^{m+n}$ meinst, dann ja.
Das benötigst du im Induktionsschritt
Du nimmst dir m beliebig, aber fest und machst die Induktion über n
Der IA für n=1 (oder n=0) ist klar, oder?
Im Induktionsschritt $n\to n+1$ nimm in der Induktionsvoraussetzung an, dass für ein beliebiges, aber festes n\in\IN gilt $\red{\left(k^m\right)^n=k^{m\cdot{}n}$
Dann ist zu zeigen, dass $\left(k^m\right)^{n+1}=k^{m(n+1)}$ ist
Dann mal los: $\left(k^m\right)^{n+1}=\red{\left(k^m\right)^{n}}\cdot{}\left(k^m\right)^{1}$ nach dem 1.Potenzgesetz
$=\red{k^{m\cdot{}n}}\cdot{}k^m$ nach IV und IA $\left(k^m\right)^1=k^{m\cdot{}1}=k^m$
Nun nochmal das 1.Potenzgesetz anwenden und du bist fast am Ziel ...
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> Danke schonmal!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Ich hoffe ich habs verstanden! Mir scheint so. ;)
Ich habs mal so aufgeschrieben wie ichs aus der Uni kenn.
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] sei p(n) [mm] ((k^m)^n=k^m^*^n \forall k,m,\in\IN)
[/mm]
IA: Die Aussage ist für p(1) wahr
[mm] (k^m)^1=k^m^*^1
[/mm]
[mm] k^m=k^m
[/mm]
IV: Angenommen, es gilt p(n) für ein beliebiges [mm] n\in\IN
[/mm]
IS: z.zg: [mm] (k^m)^n^+^1= k^m^{(n+1)}
[/mm]
[mm] (k^m)^n^+^1=(k^m)^n*(k^m)^1= [/mm] (nach IV und IA) [mm] k^m^*^n*k^m=k^m^{(n+1)}
[/mm]
Stimmt das so??
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Hallo nochmal,
> Ich hoffe ich habs verstanden! Mir scheint so. ;)
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> Ich habs mal so aufgeschrieben wie ichs aus der Uni kenn.
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> Für alle [mm]n\in\IN[/mm] sei p(n) [mm]((k^m)^n=k^m^*^n \forall k,m,\in\IN)[/mm]
>
> IA: Die Aussage ist für p(1) wahr
> [mm](k^m)^1=k^m^*^1[/mm]
> [mm]k^m=k^m[/mm]
>
> IV: Angenommen, es gilt p(n) für ein beliebiges [mm]n\in\IN[/mm]
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> IS: z.zg: [mm](k^m)^n^+^1= k^m^{(n+1)}[/mm]
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> [mm](k^m)^n^+^1=(k^m)^n*(k^m)^1=[/mm] (nach IV und IA)
> [mm]k^m^*^n*k^m=k^m^{(n+1)}[/mm]
>
> Stimmt das so??
Ja, das ist so in Ordnung, spendiere noch die ein oder andere Begründung (zB. da, wo du das Gesetz [mm] $a^{r}\cdot{}a^s=a^{r+s}$ [/mm] verwendest.
Und bei der letzten und entscheidenden Umformung würde ich mind. einen Zwischenschritt machen 
Gerade, wenn es eine Übungsaufgabe ist; das sehen die immer gerne ...
LG
schachuzipus
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> Ja, das ist so in Ordnung, spendiere noch die ein oder
> andere Begründung (zB. da, wo du das Gesetz
> [mm]a^{r}\cdot{}a^s=a^{r+s}[/mm] verwendest.
Hab ich gemacht, wäre aber quatsch jetzt hier zu zeigen, da ich mich aufs Skript beziehe.
>
> Und bei der letzten und entscheidenden Umformung würde ich
> mind. einen Zwischenschritt machen
MINDESTENS??? Oje...
>
> Gerade, wenn es eine Übungsaufgabe ist; das sehen die immer
> gerne ...
Ich glaub eher, die sehn uns gerne bluten!!! Man schau nur mal auf die Uhr! ;)
> LG
>
> schachuzipus
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Ich komm nicht mal auf EINEN Zwischenschritt!
Wir haben folgende Def.
[mm] n^m^+^1 [/mm] := [mm] n^m*n \forall n,m\in\IN
[/mm]
die würde ich zum Schluß anwenden.
Ich fall jetzt totmüde ins Bett. Morgen gehts weiter...
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Hallo nochmal,
ich meinte dies:
Im letzten Umformungsscshritt: [mm] $k^m^\cdot{}^n\cdot{}k^m=k^m^{(n+1)}$ [/mm] würde ich dazwischenquetschen:
[mm] $k^m^\cdot{}^n\cdot{}k^m\red{=k^{m\cdot{}n+m}}=k^m^{(n+1)}$
[/mm]
Aber das musst du natürlich nicht
War nur ein Sicherheitstipp ,-)
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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Ah! Ok.
Ich habe auf alle Fälle, und das ist schon mal ziemlich toll(!), die Schritte verstanden und kann alles nachvollziehen. Dafür DANKE!
Ich frage mich nur wie ich in der Klausur auf das alles von alleine, ohne Skript, kommen soll???
Viele Grüße - ohmeinkreuz (tut schon gar icht mehr so sehr weh )
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