Potenzgesetze Beweis Bsp < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 06.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Leute.
(Mein Lehrer meinte, wenn man die Potenzgesetze verstanden hat, dann müsste man folgendes ohne Probleme lösen können):
[mm] a^2+b^2 [/mm] > 2ab
Fange ich mal an:
(-2ab)
[mm] a^2+b^2-2ab [/mm] > 0
[mm] (a-b)^{2} [/mm] > 0
In der Aufgabe war keine Einschränkung enthalden wie z.B. a und b sind ungleich null oder so.
Aber in diesem Fall fällt mir der Fall auf, wenn a und b 1 ist, ergibt das ganze null, also muss es für eine wahre Aussage lauten
[mm] $(a-b)^{2} \ge [/mm] 0$
Ist das überhaupt der richtige Ansatz? Und wie gehts dann weiter? Dieses einfache Umstellen kann doch noch kein Beweis gewesen sein.
Vor allem kenn ich mich nicht so mit Ungleichungen aus, gibts da irgendwie Gesetze für, dass mein [mm] \ge [/mm] 0 als Gesetz erklärt bei bestimmten Gegebenheiten.
Scheint mir alles irgendwie falsch zu sein.
Hat jemand eine Hilfe für mich?
Grüße Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 So 06.11.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Phoney!
> (Mein Lehrer meinte, wenn man die Potenzgesetze verstanden
> hat, dann müsste man folgendes ohne Probleme lösen
> können):
>
> [mm]a^2+b^2[/mm] > 2ab
So, am Besten macht man sich erstmal die Aufgabenstellung klar.
Ich würde diese Aufgabe so verstehen:
Finde alle a, b aus IR, für die die Ungleichung erfüllt ist.
> Fange ich mal an:
>
> (-2ab)
>
> [mm]a^2+b^2-2ab[/mm] > 0
>
> [mm](a-b)^{2}[/mm] > 0
Soweit, so gut, die binomischen Formeln klappen
ja schonmal ganz gut ^^
> In der Aufgabe war keine Einschränkung enthalden wie z.B. a
> und b sind ungleich null oder so.
> Aber in diesem Fall fällt mir der Fall auf, wenn a und b 1
> ist, ergibt das ganze null, also muss es für eine wahre
> Aussage lauten
>
> [mm](a-b)^{2} \ge 0[/mm]
Jetzt weichst Du ein wenig von der Aufgabenstellung ab.
Normalerweise ist die Aufgabenstellung:
"Finde alle Variablen, so, dass die Aussage wahr ist."
und nicht
"Verändere die Aussage so, dass dass sie für alle
möglichen Variablen wahr ist."
Du hast richtig erkannt, dass die Ungleichung nicht
erfüllt ist für $a = b = 0$ und $a = b = 1$.
Wenn Du es jetzt schaffst, das zu verallgemeinern,
kannst Du eine Menge von Paaren angeben, die
die Ungleichung erfüllen.
Die ist nämlich genau die komplementäre Menge
zu der Menge aller Paare, die die Ungleichung nicht
erfüllen.
> Ist das überhaupt der richtige Ansatz? Und wie gehts dann
> weiter? Dieses einfache Umstellen kann doch noch kein
> Beweis gewesen sein.
Eigentlich sind die Beweise in der Mathematik sogar recht
häufig einfaches Umstellen von Formeln ^^
> Vor allem kenn ich mich nicht so mit Ungleichungen aus,
> gibts da irgendwie Gesetze für, dass mein [mm]\ge[/mm] 0 als Gesetz
> erklärt bei bestimmten Gegebenheiten.
Diesen Teil verstehe ich jetzt nicht so wirklich ^^;
Es gibt ein paar Rechengesetze mit Ungleichungen, das wichtigste
dürfte wohl folgendes sein:
Ist $a < b$ und $c < 0$, so gilt: $ac > bc$
> Scheint mir alles irgendwie falsch zu sein.
> Hat jemand eine Hilfe für mich?
Ich hoffe, mein Tipp hat geholfen.
Eigentlich musst Du nurnoch die Lösung hinschreiben, zu
tun ist eigentlich nichts mehr. Und das nichtmal durch
meine Hilfe, Du siehst nur den Wald vor lauter Bäumen
nicht ^^
> Grüße Johann
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 06.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
Erst einmal danke für deine Antwort, trotzdem verstehe ich es noch nicht.
> Du hast richtig erkannt, dass die Ungleichung nicht
> erfüllt ist für [mm]a = b = 0[/mm] und [mm]a = b = 1[/mm].
> Wenn Du es jetzt
Ich sehe gerade, für a = b = 2 wäre es ja gleich: 8=8
> schaffst, das zu verallgemeinern,
> kannst Du eine Menge von Paaren angeben, die
> die Ungleichung erfüllen.
> Die ist nämlich genau die komplementäre Menge
> zu der Menge aller Paare, die die Ungleichung nicht
> erfüllen.
Wie soll man das denn jetzt noch verallgemeinern? Wurzel ziehen würde ja nichts bringen. Wie komme ich also auf diese Paare?
>
> Ich hoffe, mein Tipp hat geholfen.
> Eigentlich musst Du nurnoch die Lösung hinschreiben, zu
> tun ist eigentlich nichts mehr. Und das nichtmal durch
> meine Hilfe, Du siehst nur den Wald vor lauter Bäumen
> nicht ^^
>
Grüße Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 06.11.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Sorry, dass ich jetzt noch nicht direkt die finale Antwort gebe, aber Du kommst noch drauf ^^
Hm... also, was hast Du bist jetzt?
a = b = 0 => falsche Aussage
a = b = 1 => falsche Aussage
a = b = 2 => falsche Aussage
Fällt Dir da eine Regelmäßigkeit auf?
Einfach von der Gleichung $(a - [mm] b)^2 [/mm] > 0$ ausgehen und schauen,
wann sie nicht erfüllt sein kann.
Wenn Du übrigens die Wurzel ziehen möchtest, gilt:
$|a - b| > 0$, dabei ist |.| der Absolutbetrag.
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 06.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hi!
> Sorry, dass ich jetzt noch nicht direkt die finale Antwort
> gebe, aber Du kommst noch drauf ^^
>
> Hm... also, was hast Du bist jetzt?
> a = b = 0 => falsche Aussage
> a = b = 1 => falsche Aussage
> a = b = 2 => falsche Aussage
>
> Fällt Dir da eine Regelmäßigkeit auf?
aaaah, wenn a = b ist, ist (a - [mm] b)^2 [/mm] > 0 nicht erfüllt.
Und wie zeigt man das, reicht die Überlegung, dass [mm] 0^2 [/mm] nicht > 0 ist?
Also
[mm] \underbrace{(a - b)^2}_{=0}
[/mm]
Und als Nebenrechnung dann a-b = 0 [mm] \gdw [/mm] a=b
Oder wie sieht die mathematisch schönere Lösung da aus?
Vielen Dank und Grüße Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 06.11.2005 | | Autor: | AT-Colt |
> > Hm... also, was hast Du bist jetzt?
> > a = b = 0 => falsche Aussage
> > a = b = 1 => falsche Aussage
> > a = b = 2 => falsche Aussage
> >
> > Fällt Dir da eine Regelmäßigkeit auf?
>
> aaaah, wenn a = b ist, ist (a - [mm]b)^2[/mm] > 0 nicht erfüllt.
Exakt ^^
> Und wie zeigt man das, reicht die Überlegung, dass [mm]0^2[/mm]
> nicht > 0 ist?
>
> Also
>
> [mm]\underbrace{(a - b)^2}_{=0}[/mm]
>
> Und als Nebenrechnung dann a-b = 0 [mm]\gdw[/mm] a=b
>
> Oder wie sieht die mathematisch schönere Lösung da aus?
Jo, stimmt so eigentlich schon.
Man sagt eigentlich einfach, dass das Quadrat jeder reellen
Zahl, die nicht 0 ist, größer als 0 ist.
Das heisst dann, dass [mm] $(a-b)^2 [/mm] = 0$ ist, wenn $a-b=0$ ist.
Als Lösungsmenge erhält man dann genau folgende Menge:
[mm] $\{(a,b) \in \IR^2 | a \not= b}$
[/mm]
> Vielen Dank und Grüße Johann
Kein Problem
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 So 06.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Cool, Danke AT-Colt.
Jetzt wo ich es erst einmal gesehen habe, ist es schon Recht peinlich, es nicht auf anhieb zu sehen.
Für die Zukunft hat mir deine Antwort sicherlich geholfen. Vielen Dank dafür.
Alles Gute - Johann
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